Ренормализационная группа в теории турбулентности
Изучение турбулентности опирается на уравнения гидродинамики, в первую очередь — на уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости:
∂tv + (v ⋅ ∇)v = −∇p + ν0∇2v + f, ∇ ⋅ v = 0,
где – v(x, t) — скорость, – p(x, t) — давление, – ν0 — молекулярная вязкость, – f — внешняя сила возбуждения, моделирующая закачку энергии на больших масштабах.
Основная цель — описание статистических свойств в установившемся турбулентном режиме. Поскольку уравнение Навье–Стокса нелинейно и хаотично, его прямое решение не даёт удобной информации о масштабной структуре турбулентности. Здесь и возникает необходимость применения статистических и полевых методов, среди которых центральную роль играет метод ренормализационной группы (РГ).
Для применения РГ необходимо сначала перейти от дифференциальной постановки к полевой теории. Используется стохастическая формализация: сила f рассматривается как случайный процесс с заданной корреляцией:
$$ \langle f_i(t,\mathbf{x}) f_j(t', \mathbf{x}') \rangle = D_0\, \delta(t - t') \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \, P_{ij}(\mathbf{k})\, k^{4 - d - 2\varepsilon} e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}')}, $$
где – $P_{ij}(\mathbf{k}) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{k^2}$ — проектор на поперечные компоненты, – параметр ε задаёт отклонение от предельного масштаба энергии.
Используя формализм MSR или его эквивалент (функциональный интеграл с добавлением сопряжённого поля v′), получаем эффективное действие:
$$ S[\mathbf{v}, \mathbf{v}'] = \int dt\, d^d x\, \left\{ \mathbf{v}' \cdot \left[ \partial_t \mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} - \nu_0 \nabla^2 \mathbf{v} \right] - \frac{1}{2} \mathbf{v}' D \mathbf{v}' \right\}. $$
Функциональный интеграл по v, v′ позволяет выразить любые корреляционные функции как диаграмматическую серию по взаимодействиям.
Рассматриваем теорию возмущений по нелинейному члену. Основными объектами диаграммной техники являются:
Пропагаторы:
⟨vivj⟩0, ⟨vivj′⟩0, ⟨vi′vj′⟩0,
Вершины взаимодействия, соответствующие нелинейному термину (v ⋅ ∇)v.
На уровне второй и высших порядков возникает дивергенция при интегрировании по внутренним импульсам — аналогично квантовым теориям поля. Это требует введения регуляризации и ренормализации.
Вводим размерное регуляризующее расширение пространства до размерности d = 4 − 2ε, где ε — аналог маленького параметра, как в теории критических явлений. Цель — анализ поведения при ε → 0, соответствующем физической размерности d = 3.
Введение масштабной зависимости параметров (вязкости ν0 и амплитуды шума D0) позволяет избавиться от расходимостей. Определим ренормализованные параметры через bare-параметры:
ν0 = νZν, D0 = g0ν03 = gμ2εν3ZD,
где – g — ренормализованная безразмерная константа связи, – μ — масштаб минимальной длины, – Z-факторы определяются из условия устранения расходимостей.
Выводятся функции бета и аномальные размерности:
$$ \beta_g = \mu \frac{d g}{d\mu},\quad \gamma_\nu = \mu \frac{d \ln Z_\nu}{d\mu}. $$
Фиксированные точки (βg = 0) описывают возможные режимы масштабной инвариантности.
Находится, что уравнение βg = 0 имеет нетривиальное решение при g = g* ∼ ε, то есть вблизи четырехмерия. Это указывает на существование универсального масштабного режима, аналогичного критическому поведению в фазовых переходах.
Вблизи фиксированной точки наблюдается масштабная инвариантность корреляционных функций:
⟨vi(λx, λzt)vj(0, 0)⟩ = λ−ΔvFij(x, t),
где – z — динамическая критическая размерность, – Δv = d + z − 2 + γ* — полная размерность поля скорости.
Расчёт приводит к выражению типа:
$$ \Delta_v = 1 - \frac{2}{3} \varepsilon + O(\varepsilon^2), $$
что соответствует колмогоровскому спектру E(k) ∼ k−5/3 при ε = 2. Это подтверждает применимость метода РГ к описанию инерциального интервала.
Однако, в реальной турбулентности наблюдаются отклонения от колмогоровского скейлинга, выражающиеся в интермитентности. Для их описания применяется обобщённая РГ, основанная на операторном разложении по видам вклада (OPE):
⟨O(x)O(0)⟩ ∼ ∑FCF(x)⟨F(0)⟩,
где – O — наблюдаемая величина (например, структура второго порядка), – F — набор операторов с собственными критическими размерностями.
Анализ показывает, что вклады операторов с меньшими размерностями доминируют при x → 0, что приводит к аномальному скейлингу и спектру мультифрактальных размерностей.
Для дополнительной иллюстрации применимости РГ рассмотрим пассивный скаляр θ, удовлетворяющий уравнению:
∂tθ + (v ⋅ ∇)θ = κ0∇2θ + ξ,
где ξ — стохастический источник.
Совместный анализ с уравнением для v, с учётом статистики возмущения, позволяет применить РГ-метод для получения спектра корреляций ⟨θθ⟩ и выявления скейлинговых экспонент. В модели Краичнана (белый по времени гауссов шум) оказывается возможным получить точные значения аномальных размерностей операторов.
Современное развитие ренормализационной группы в контексте турбулентности включает:
Таким образом, ренормализационная группа — мощный и гибкий инструмент для систематического описания масштабных структур в турбулентных течениях, соединяющий подходы квантовой теории поля, критических явлений и гидродинамики.