Римановы пространства — центральный объект дифференциальной геометрии и математической физики, поскольку позволяют ввести геометрическую структуру на гладких многообразиях. Пусть M — гладкое многообразие размерности n. Римановой метрикой на M называется симметричное положительно определённое тензорное поле g типа (0,2), то есть каждому p ∈ M ставится в соответствие билинейная форма
gp : TpM × TpM → ℝ,
где TpM — касательное пространство в точке p, такая, что gp(X, Y) = gp(Y, X) и gp(X, X) > 0 для всех X ≠ 0.
Компоненты метрического тензора в локальных координатах x1, …, xn обозначаются $g_{ij}(x) = g\left(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j}\right)$. Метрический тензор позволяет вычислять длины кривых, углы между векторами, объёмы и другие геометрические величины.
Квадрат длины бесконечно малого вектора dxi в римановом пространстве даётся выражением:
ds2 = gij(x) dxidxj.
Функция ds2 называется линейным элементом. Длина гладкой кривой γ(t), t ∈ [a, b], проходящей через многообразие, выражается интегралом:
$$ L[\gamma] = \int_a^b \sqrt{g_{ij}(\gamma(t)) \, \dot{\gamma}^i(t) \dot{\gamma}^j(t)} \, dt. $$
Для дифференцирования тензоров вдоль векторных полей на многообразии вводится понятие связности. Единственной связностью, согласованной с метрическим тензором g и не обладающей кручением, является связность Леви-Чивиты. Её коэффициенты — символы Кристоффеля второго рода:
$$ \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right), $$
где gkl — матрица, обратная к gkl, то есть gikgkj = δji.
Ковариантная производная векторного поля Vk по направлению $\frac{\partial}{\partial x^i}$ записывается как:
$$ \nabla_i V^k = \frac{\partial V^k}{\partial x^i} + \Gamma^k_{ij} V^j. $$
Геодезические линии в римановом пространстве — это обобщение прямых в евклидовой геометрии. Они определяются вариационным принципом как экстремали функционала длины. Уравнение геодезической:
$$ \frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0. $$
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, определяющая траектории свободного движения частиц в криволинейном пространстве без внешнего воздействия.
Кривизна риманова пространства характеризуется тензором Римана:
$$ R^i_{\ jkl} = \frac{\partial \Gamma^i_{jl}}{\partial x^k} - \frac{\partial \Gamma^i_{jk}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{ks} \Gamma^s_{jl} - \Gamma^i_{ls} \Gamma^s_{jk}. $$
Этот тензор выражает меру несовпадения ковариантных производных при перестановке порядка дифференцирования:
[∇k, ∇l]Vi = R jkliVj.
Симметрии тензора Римана:
Свертка тензора Римана по первым и третьим индексам даёт тензор Риччи:
Rij = R ikjk.
Скалярная кривизна — след тензора Риччи:
R = gijRij.
Эти объекты играют ключевую роль в уравнениях гравитации Эйнштейна, где геометрия пространства связывается с распределением материи.
С помощью детерминанта метрики g = det (gij) определяется канонический объёмный элемент:
$$ dV = \sqrt{|g|} \, dx^1 dx^2 \dots dx^n. $$
При интегрировании скалярных функций или тензорных выражений по многообразию используется именно этот элемент. Например, объём области Ω ⊂ M:
$$ \text{Vol}(\Omega) = \int_\Omega \sqrt{|g(x)|} \, d^n x. $$
Изометрии — преобразования, сохраняющие метрику. Векторное поле ξi называется вектором Киллинга, если выполняется условие:
∇iξj + ∇jξi = 0.
Векторы Киллинга соответствуют непрерывным симметриям пространства. Их наличие связано с законами сохранения — согласно теореме Нётер, каждая изометрия соответствует сохраняющейся величине вдоль геодезических.
Риманова геометрия фундаментальна для описания гравитации в общей теории относительности. Пространственно-временной континуум моделируется как 4-мерное риманово (в действительности псевдориманово) многообразие, метрика которого определяется полем гравитации. Уравнения Эйнштейна связывают тензор Риччи, скаляр кривизны и метрику с тензором энергии-импульса:
$$ R_{ij} - \frac{1}{2} g_{ij} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij}. $$
Также риманова геометрия применяется в теории калибровочных полей, теории струн, физике конденсированного состояния (например, при описании дефектов в кристаллах) и даже в гидродинамике при изучении движения флуидов на криволинейных подложках.