Турбулентность и статистические методы
Турбулентные течения представляют собой хаотичные, детерминированно-непредсказуемые процессы, что делает невозможным точное описание каждой траектории частиц. Вместо этого вводятся усреднённые поля — такие как средняя скорость, турбулентное напряжение, корреляционные функции — и изучаются их эволюционные уравнения. Это требует перехода от детерминированной динамики уравнений Навье–Стокса к статистическим методам описания.
Пусть u(x, t) — поле скорости. Разложим его на среднюю и флуктуирующую части:
u(x, t) = ⟨u(x, t)⟩ + u′(x, t),
где ⟨⋅⟩ обозначает усреднение, а u′ — флуктуации. Подставляя это разложение в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнения Рейнольдса.
После усреднения уравнений Навье–Стокса возникает дополнительный тензорный член — тензор Рейнольдса:
Rij = ⟨u′iu′j⟩,
который представляет собой турбулентные напряжения. Он описывает перенос импульса, связанный с флуктуациями скорости, и играет роль эффективной вязкости в турбулентном течении.
Однако уравнения для средних величин содержат корреляции более высокого порядка, что приводит к проблеме замыкания — каждое уравнение требует знания ещё не определённых функций. Это фундаментальное препятствие преодолевается с помощью различных моделей и приближений.
Центральной задачей статистической теории турбулентности является описание корреляционных функций и энергетических спектров.
Двухточечная корреляционная функция скорости:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩
содержит информацию о пространственной структуре турбулентности. При изотропии она зависит только от расстояния r = |r|, и может быть представлена через скалярную функцию.
Связанный с ней энергетический спектр E(k) определяется как спектральная плотность кинетической энергии:
$$ \frac{1}{2} \langle |\mathbf{u}(\mathbf{x})|^2 \rangle = \int_0^\infty E(k) \, dk. $$
Классическая картина Колмогорова для полностью развитой изотропной турбулентности в инерциальном интервале приводит к закону:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — скорость диссипации энергии на единицу массы, k — волновое число.
Для получения количественных предсказаний используется уравнение Колмогорова третьего порядка (K41), основанное на гипотезах изотропии, однородности и локального равновесия:
$$ \langle [\delta u_L(r)]^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где δuL(r) — продольная разность скоростей на расстоянии r. Это уравнение — единственное строгое результат теории Колмогорова, выведенное из уравнений Навье–Стокса при разумных статистических допущениях.
Реальные турбулентные потоки демонстрируют отклонения от универсальности K41, в первую очередь из-за интермиттентности — нерегулярного распределения интенсивности турбулентных флуктуаций. Это приводит к аномальным скейлинговым законам для моментов инкрементов скорости:
⟨|δu(r)|p⟩ ∼ rζp,
где ζp — нелинейная функция от p, отличающаяся от линейной зависимости ζp = p/3 предсказанной Колмогоровым. Эта область остаётся активной темой исследований, в частности, с применением многофрактальных моделей.
Для описания вероятностных свойств турбулентности используются функции распределения вероятностей (ФРВ) скоростей и градиентов скорости. Например, вероятность P(u; x, t) того, что скорость в точке x в момент t равна u, подчиняется уравнению Лиувилля или, в приближённом виде, уравнениям Фоккера–Планка.
В турбулентности важны также условные распределения и совместные распределения (например, для u и ∇u), которые позволяют понять локальные структуры и режимы течения. ФРВ оказываются сильно негауссовыми, особенно для производных поля скорости, отражая наличие сильных градиентов и вихрей.
Различные модели замыкания позволяют приблизить неведомые корреляционные функции через известные величины. Среди них:
Гипотеза Бузинеска — выражение турбулентных напряжений через градиенты средней скорости и турбулентную вязкость:
$$ \langle u'_i u'_j \rangle = -\nu_T \left( \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle u_j \rangle}{\partial x_i} \right), $$
где νT — турбулентная вязкость.
k–ε модель, где k = ⟨|u′|2⟩/2 — турбулентная энергия, а ε — её диссипация. Уравнения на k и ε строятся с помощью феноменологических представлений.
Модели второго порядка, включающие уравнения для тензора Рейнольдса и диссипации.
Лагранжевы модели, в которых частицы прослеживаются во времени, и статистика строится на основе ансамблей траекторий.
В спектральном пространстве турбулентность рассматривается как процесс переноса энергии от больших масштабов (малым k) к малым масштабам (большим k), где она диссипируется вязкостью. Это называется энергетическим каскадом.
Существует также энтропийный или обратный каскад (например, в двумерной турбулентности), при котором энергия переносится в сторону больших масштабов. Такие процессы характерны для геофизических и астрофизических течений, в частности, атмосферы и океана.
Спектральные методы позволяют чётко выделить интервалы масштабов: инерциальный, ввод энергии, диссипативный, каждый из которых обладает своей динамикой и закономерностями.
Современные исследования турбулентности интенсивно используют методы численного моделирования:
DNS (Direct Numerical Simulation) — прямое интегрирование уравнений Навье–Стокса без моделей, с разрешением всех масштабов. Огромные вычислительные затраты.
LES (Large Eddy Simulation) — моделирование крупных вихрей с параметризацией малых. Компромисс между точностью и затратами.
RANS (Reynolds Averaged Navier–Stokes) — усреднённые уравнения с модельным замыканием, применимы в инженерных задачах.
С другой стороны, активно развиваются стохастические методы, методы информационной энтропии, машинное обучение, применяемое к моделированию замыкания и предсказанию структуры потока.
Сингулярные возмущения и пограничные слои
Сингулярные возмущения возникают в уравнениях математической физики, когда при стремлении малого параметра ε → 0 структура уравнения радикально меняется, и предельное уравнение теряет часть условий или решений. Классический пример — уравнение Навье–Стокса при ν → 0, где исчезает вязкостной член, и вместо него получаем уравнение Эйлера.
Решения таких уравнений, как правило, не могут быть разложены в обычный степенной ряд по ε. Вместо этого применяются методы сингулярного разложения, такие как метод соответствующих переменных, метод матчинга (сшивания), многомасштабный анализ.
При малой вязкости вблизи твёрдых границ возникает пограничный слой — тонкая область, где градиенты скорости велики, а вязкостные силы сравнимы с инерционными. Основное уравнение для описания — уравнение Прандтля:
$$ u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, $$
$$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0, $$
где x — координата вдоль поверхности, y — нормальная к ней. Толщина слоя $\delta \sim \sqrt{\nu x/U}$.
Это приближённое уравнение получается из Навье–Стокса при ν ≪ 1 методом масштабного анализа.
Пограничный слой делится на:
Устойчивость ламинарного слоя описывается линейной теорией возмущений (например, анализом мод Толмина–Шлихтинга), при которой малые возмущения могут экспоненциально расти.
Решения внутри и вне пограничного слоя обладают разными масштабами. Вне слоя — «внешнее» решение uout, внутри — «внутреннее» uin, зависящее от растянутой переменной η = y/δ. Метод сшивания требует, чтобы в перекрывающемся интервале они совпадали:
limη → ∞uin(η) = limy → 0uout(y).
Этот метод лежит в основе построения композитных решений, валидных на всей области.
Многие задачи требуют учитывать одновременно процессы, идущие на разных масштабах — временных и пространственных. Например, в турбулентности одновременно сосуществуют большие и малые вихри. Для таких задач используется многомасштабный метод, в котором переменные вводятся в виде:
x0 = x, x1 = εx, t0 = t, t1 = εt,
и функция u ищется в виде:
u = u0(x0, x1, …) + εu1(x0, x1, …) + ⋯.
Это позволяет выделить доминирующие механизмы на каждом уровне и избежать секулярных (неограниченно растущих) членов в решении.
Пограничные слои и сингулярные возмущения играют ключевую роль в турбулентности:
Таким образом, сингулярные методы неотъемлемы для количественного и качественного анализа турбулентных течений и являются мостом между математической строгостью и физической реалистичностью.