Турбулентность и статистические методы
Турбулентность характеризуется неустойчивыми, хаотическими флуктуациями скорости и давления в потоке, высоким числом Рейнольдса, широким спектром пространственно-временных масштабов, сильной нелинейной связью между модами и энергетическим каскадом от крупных квазиизотропных вихрей к малым масштабам диссипации. Отдельное описание каждой траектории становится бессмысленным, и вместо детерминированного подхода вводится статистическая трактовка, оперирующая средними величинами, функциями корреляции и спектрами.
Для статистического описания турбулентного потока вводится операция усреднения (временного, ансамблевого или пространственного):
$$ \overline{u_i}(\mathbf{x}) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T u_i(\mathbf{x}, t)\, dt $$
и флуктуации:
$$ u_i'(\mathbf{x}, t) = u_i(\mathbf{x}, t) - \overline{u_i}(\mathbf{x}) $$
Второй момент флуктуаций (тензор Рейнольдса):
$$ R_{ij}(\mathbf{x}, \mathbf{x}+\mathbf{r}, t) = \overline{u_i'(\mathbf{x}, t) u_j'(\mathbf{x}+\mathbf{r}, t)} $$
является основным объектом в моделях турбулентности. При изотропии он зависит лишь от расстояния r = |r|.
Подставляя разложение на среднюю и флуктуационную части в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнение Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial R_{ij}}{\partial x_j} $$
Тензор Рейнольдса Rij требует дополнительного описания — это проблема закрытия. Используются различные модели: гипотеза Буссинеска, модели k–ε, многоуровневые модели, LES и DNS.
Основу феноменологической теории турбулентности составляет гипотеза Колмогорова (1941):
$$ S_p(r) = \overline{|\delta u(r)|^p} \sim r^{\zeta_p} $$
где δu(r) = u(x + r) − u(x), обладают универсальной степенной зависимостью. При p = 2: ζ2 = 2/3, что соответствует спектру:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
— спектру Колмогорова в инерциальном диапазоне. Более высокие порядки показывают отклонения, указывающие на интермиттентность.
Турбулентный поток можно представить как суперпозицию вихрей различного масштаба. Энергия инжектируется на больших масштабах L, переходит к меньшим за счёт нелинейного взаимодействия, и диссипируется на масштабах порядка длины Колмогорова:
$$ \eta = \left( \frac{\nu^3}{\varepsilon} \right)^{1/4} $$
В спектральном представлении:
E(k, t) = энергия на волновом числе k
Спектральный перенос описывается уравнением:
$$ \frac{\partial E(k, t)}{\partial t} = T(k) - 2 \nu k^2 E(k, t) + F(k) $$
где T(k) — нелинейный перенос, F(k) — внешние силы. В инерциальной области T(k) ≈ 0, и установившийся спектр E(k) подчиняется закону Колмогорова.
Спектральные методы и псевдоспектральные алгоритмы
При численном решении уравнений гидродинамики спектральные методы опираются на разложение полей (скорости, давления и др.) в базисных функциях — чаще всего в комплексные экспоненты при периодических граничных условиях:
$$ u(x, t) = \sum_{k=-N}^{N} \hat{u}_k(t) e^{ikx} $$
или, в многомерном случае:
$$ \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \sum_{\mathbf{k}} \hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k}, t) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} $$
Уравнения Навье–Стокса в таком виде превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов $\hat{\mathbf{u}}(\mathbf{k}, t)$.
Проблема нелинейных членов, например (u ⋅ ∇)u, состоит в вычислении свёрток в спектре. Прямой подход требует O(N2) операций. Псевдоспектральный метод решает это:
Такой алгоритм имеет сложность O(Nlog N), обладает высокой точностью и позволяет эффективно моделировать турбулентные течения при умеренном числе степеней свободы.
При вычислении нелинейных членов в спектре возникает проблема aliasing — наложения высокочастотных мод. Для устранения используется техника Orszag 2/3-rule:
Псевдоспектральный подход даёт возможность исследовать энергетический каскад в прямом виде. Спектральный перенос энергии между модами изучается через трёхволновые взаимодействия:
k1 + k2 = k3
и соответствующие спектральные функции переноса:
T(k) = ∑p + q = kS(k, p, q)
Положительный знак T(k) указывает на вход энергии в моду k, отрицательный — на выход.
Применение спектральных и псевдоспектральных алгоритмов в моделировании турбулентности стало стандартом в численной гидродинамике. Особенно при высоких числах Рейнольдса эти методы позволяют сохранять физическую достоверность и одновременно обеспечивают вычислительную эффективность. Они находят применение в астрофизике, геофизике, аэродинамике и климатическом моделировании, где требуется точный контроль над каскадами энергии, вихревыми структурами и статистикой.