Специальная теория относительности и преобразования Лоренца

Формализм Лоренцевых преобразований

Преобразования Лоренца описывают переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой, движущейся с постоянной скоростью относительно первой. Основная задача — сохранение инвариантности интервала

s² = c²t² − x² − y² − z²,

что обуславливает ковариантность уравнений физики при смене инерциальной системы отсчёта.

Пусть система S′ движется со скоростью v вдоль оси x относительно S. Тогда преобразования координат имеют вид:

$$ \begin{aligned} x' &= \gamma(x - v t), \\ y' &= y, \\ z' &= z, \\ t' &= \gamma\left(t - \frac{v x}{c^2}\right), \end{aligned} $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — фактор Лоренца.

Эти преобразования лежат в основе релятивистской инвариантности уравнений Максвелла и применимы к любым линейным уравнениям, сохраняющим интервал Минковского.

Свойства ковариантных уравнений и статистика в турбулентных потоках

Турбулентность — это нелинейный, неустойчивый режим течения, описываемый уравнениями Навье–Стокса. В классической постановке они инвариантны по Галилею. Однако при рассмотрении высокоэнергетических потоков, например в астрофизических масштабах, необходим учет релятивистских эффектов. Это приводит к необходимости использования релятивистской гидродинамики, в которой динамические уравнения получают ковариантную форму относительно Лоренцевых преобразований:

∂_μT^μν = 0,

где T^μν — тензор энергии-импульса среды.

В статистическом описании турбулентных флуктуаций в таких системах важную роль играет корреляционная функция второго порядка:

R_ij(r, t) = ⟨u_i(x, t)u_j(x + r, t)⟩,

и её релятивистский аналог требует учета пространственно-временного интервала Минковского и соотнесения с наблюдаемыми в разных системах отсчета.

Релятивистская турбулентность: постановка задачи

Переход к релятивистской турбулентности требует обобщения основных концепций классической турбулентности (например, каскада Колмогорова) на случай, когда скорости сравнимы со скоростью света. В этом случае:

поле скоростей заменяется четырехскоростью u^μ,
давление и плотность объединяются в энтальпию w = ρ + p,
энергетические потоки описываются тензором T^μν, как уже упомянуто выше.

Стационарные и изотропные турбулентные потоки теперь описываются с помощью инвариантных тензорных корреляционных функций, которые зависят только от релятивистски инвариантного интервала s², а не от абсолютного времени или расстояния.

Переход от уравнений Навье–Стокса к релятивистским моделям

Уравнения Навье–Стокса записываются в виде:

$$ \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \Delta u_i, $$

где ν — кинематическая вязкость. Однако в релятивистском варианте форма уравнений резко меняется. Они включают:

чётко определенные условия ортогональности u^μu_μ = 1,
тензор вязкости π^μν, выражаемый через градиенты четырехскорости,
уравнение состояния, связующее давление, плотность и температуру.

Таким образом, релятивистская модель заменяет скалярные и векторные величины в классической гидродинамике на тензорные объекты, инвариантные при преобразованиях Лоренца.

Статистическая теория релятивистской турбулентности

Фундаментальным подходом в теории турбулентности является использование усреднения по ансамблю. Этот подход обобщается на релятивистский случай путём построения функций распределения частиц, зависящих от пространственно-временной точки и четырехимпульса f(x^μ, p^ν). Такое распределение удовлетворяет уравнению Больцмана:

p^μ∂_μf = C[f],

где C[f] — релятивистский интеграл столкновений.

На основе f(x^μ, p^ν) можно построить:

плотность энергии: T⁰⁰ = ∫p⁰p⁰f d³p/p⁰,
импульсный поток: T⁰ⁱ = ∫p⁰pⁱf d³p/p⁰,
тензор напряжений: T^ij = ∫pⁱp^jf d³p/p⁰.

Эти выражения затем усредняются, что позволяет получить релятивистские корреляционные тензоры, аналогичные структурам в классической теории Колмогорова.

Формирование инвариантных спектров энергии

Классическая теория Колмогорова предполагает спектр энергии в инерциальном интервале вида:

E(k) ∼ ε^2/3k^−5/3,

где k — волновое число, ε — средняя скорость диссипации энергии.

В релятивистской турбулентности аналогичный спектр возникает в зависимости от величины четырехимпульса P^μ и его инвариантного модуля. Строится инвариантный спектр, определяемый через корреляции в пространстве Минковского:

Ẽ(q) ∼ q^−α,

где $q = \sqrt{q_\mu q^\mu}$, а значение α зависит от релятивистской природы флуктуаций.

Модели и симуляции: численный подход

Релятивистская турбулентность активно изучается с помощью численного моделирования. Используются методы:

Godunov-type schemes с точным решением релятивистских задач Римана;
WENO-схемы (Weighted Essentially Non-Oscillatory) для захвата фронтов ударных волн;
Monte Carlo-методы для статистического моделирования флуктуаций на микроскопическом уровне.

Особенность заключается в необходимости строгого соблюдения условий причинности и термодинамической устойчивости численной схемы.

Инвариантные статистические функции и Лоренц-симметрия

В релятивистской статистике важнейшими являются тензорные корреляционные функции, построенные с учетом Лоренц-инвариантности. Например, ковариантный тензор второго ранга R^μν(x^λ), удовлетворяющий уравнениям сохранения и трансформирующийся по законам Лоренца:

R′^μν(x′^λ) = Λ_α^μΛ_β^νR^αβ(x^λ),

где Λ_ν^μ — матрица преобразования Лоренца.

Таким образом, вся статистическая информация о турбулентных флуктуациях обобщается на тензорные объекты, инвариантные при смене инерциальной системы отсчета.

Физические приложения: космическая плазма и релятивистские струи

Понимание релятивистской турбулентности необходимо при анализе:

джетов активных галактических ядер,
всплесков гамма-излучения (GRB),
релятивистских ударных волн в плазменных структурах.

Во всех этих случаях наблюдаются сильные флуктуации в плотности, поле скоростей и электромагнитных полях. Применение статистических методов в релятивистски инвариантной форме позволяет анализировать распределения энергии, уровни турбулентности и процессы ускорения частиц на фундаментальном уровне.