В основе турбулентных течений лежит система уравнений Навье–Стокса, описывающая движение вязкой несжимаемой жидкости. Эти уравнения, будучи строго детерминированными, демонстрируют чрезвычайно сложное поведение решений при больших числах Рейнольдса. Это приводит к тому, что детальный анализ каждого конкретного решения теряет смысл, и на первый план выходят статистические методы описания.
Пусть v⃗(r⃗, t) — поле скоростей жидкости, удовлетворяющее уравнениям Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{v}, \quad \nabla \cdot \vec{v} = 0. $$
При высоких Re ≫ 1 решения этих уравнений становятся хаотичными, и единственно разумным подходом становится описание средних характеристик течения, таких как средняя скорость, средняя кинетическая энергия, корреляционные функции и спектры.
В статистической гидродинамике переменные разлагаются на среднее и флуктуационное слагаемые:
$$ \vec{v}(\vec{r}, t) = \overline{\vec{v}}(\vec{r}) + \vec{v}'(\vec{r}, t), \quad \text{где } \overline{\vec{v}'} = 0. $$
Подставляя это разложение в уравнение Навье–Стокса и усредняя по ансамблю (или по времени при стационарности), получают уравнения Рейнольдса, содержащие тензор Рейнольдса:
$$ R_{ij} = \overline{v'_i v'_j}, $$
который описывает влияние турбулентных пульсаций на средний поток. Однако уравнения Рейнольдса не замкнуты: тензор Рейнольдса содержит новые неизвестные, не выражаемые явно через усреднённые поля. Это приводит к проблеме замыкания, характерной для турбулентных моделей.
Одним из центральных объектов статистического описания турбулентности является двухточечная корреляционная функция скоростей:
Bij(r⃗) = ⟨vi(x⃗)vj(x⃗ + r⃗)⟩,
которая содержит информацию о взаимосвязи флуктуаций на разных масштабах. В случае изотропной и однородной турбулентности (по Колмогорову) корреляционная функция зависит только от модуля r = |r⃗|, и её тензорная структура сильно упрощается.
Переход к спектральному представлению через преобразование Фурье приводит к энергетическому спектру турбулентности E(k), определяемому как распределение кинетической энергии по волновым числам:
⟨v2⟩ = ∫0∞E(k) dk.
В инерциальном диапазоне спектр Колмогорова имеет вид:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
Турбулентное течение характеризуется существованием широкого диапазона масштабов — от масштабов возбуждения (впрыска энергии) до масштабов вязкой диссипации. Энергия, поступающая в систему на больших масштабах, переносится к меньшим масштабам без потерь (в инерциальном диапазоне), а затем рассеивается на мелких.
Это явление называют каскадом энергии. В рамках модели Колмогорова-1941 (K41) предполагается, что:
Однако в реальности наблюдается интермиттенция, выражающаяся в отклонениях от предсказаний K41 — это приводит к необходимости учета более сложных статистических моделей, таких как многофрактальные подходы.
Статистическое описание основывается не только на экспериментальных наблюдениях, но и на использовании симметрий уравнений движения. Однородность, изотропия, несжимаемость и т.д. накладывают строгие ограничения на возможные формы корреляционных функций.
Уравнение фон Кармана–Гаулова, например, описывает эволюцию корреляционной функции в однородной турбулентности:
$$ \frac{\partial B_{LL}}{\partial t} = \text{нелинейные члены} + \text{диссипация} + \text{диффузия}. $$
Эти уравнения лежат в основе построения моделей крупномасштабных турбулентных течений и служат важным инструментом в вычислительной гидродинамике (LES и DNS).
В последние десятилетия наблюдается усиление взаимосвязи между теорией турбулентности и современными математическими конструкциями, в частности теорией ренормализации, теорией групп и фрактальной геометрией.
Методы ренормализационной группы, изначально разработанные для анализа фазовых переходов в статистической физике, оказались применимы к анализу многошкального характера турбулентности. В частности, они позволяют понять, как распределения и корреляции масштабируются с длиной волны:
vλ(x) = λαv(λx),
где α — критический индекс, зависящий от модели.
Модельные представления о турбулентности часто строятся на аналогии с случайными процессами. Турбулентный поток можно рассматривать как случайное поле с определёнными статистическими свойствами, и для его описания используются инструменты теории случайных функций и процессов: стационарность, гауссовость, марковость и пр.
Одним из примеров является приближение случайного градиента скоростей в модели Краича-Обухова, где поле скоростей локально моделируется как гауссовское поле с определённым тензором корреляций. Эти модели также приводят к обоснованию вида спектра E(k) ∼ k−5/3 при определённых допущениях.
Развитие численных методов дало возможность переходить от феноменологических описаний к точному численному решению уравнений гидродинамики. При этом даже в моделях прямого численного моделирования (DNS), где решаются уравнения Навье–Стокса без аппроксимаций, важнейшим инструментом остаётся статистический анализ полученных данных.
Компьютерные эксперименты позволяют наблюдать формирование вихрей, каскад энергии, интермиттенцию, а также проверять предсказания статистических моделей. Связь с методами неравновесной статистической механики, в частности с флуктуационно-диссипативными теоремами, предоставляет дополнительную основу для построения теоретических описаний турбулентности.
Несмотря на столетнюю историю, теория турбулентности остаётся одной из наименее завершённых областей физики. Основные трудности включают:
Современные направления включают:
Таким образом, теория турбулентности становится ареной глубокого взаимодействия между математикой и физикой, где стохастика и детерминизм, феноменология и строгий анализ, классика и современность сплетаются в единую структуру сложнейшего явления природы.