Тензор кривизны и его физические интерпретации

---

Математическая природа тензора кривизны

В римановом многообразии, на котором задана метрика g_μν, основным объектом, описывающим кривизну пространства, является тензор Римана R _σμν^ρ. Он возникает как мера несогласованности ковариантных производных, определённых через связность Леви-Чивиты Γ_μν^ρ, и может быть выражен через неё как

R _σμν^ρ = ∂_μΓ_νσ^ρ − ∂_νΓ_μσ^ρ + Γ_μλ^ρΓ_νσ^λ − Γ_νλ^ρΓ_μσ^λ.

Этот тензор удовлетворяет следующим тождествам:

1. Антисимметрия по последним двум индексам:

   R _σμν^ρ = −R _σνμ^ρ.

2. Первое тождество Бьянки:

   R _σμν^ρ + R _μνσ^ρ + R _νσμ^ρ = 0.

3. Контракция и тензор Риччи: Свертывая первые и третьи индексы: R_μν = R _μρν^ρ, получаем тензор Риччи.

Полная скалярная кривизна R определяется как след тензора Риччи:

R = g^μνR_μν.

Физическая интерпретация в общей теории относительности

В контексте общей теории относительности (ОТО) тензор Римана описывает гравитационное поле как проявление геометрии пространства-времени. Принцип эквивалентности Эйнштейна требует, чтобы движение пробных частиц описывалось геодезическими линиями, а тензор Римана характеризовал отклонение геодезик.

Отклонение геодезик: Пусть x^μ(τ) и x^μ(τ) + ξ^μ(τ) — две близкие геодезики. Тогда уравнение отклонения имеет вид:

$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{D \tau^2} = R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma, $$

где $u^\nu = \frac{dx^\nu}{d\tau}$ — касательный вектор к геодезике. Это уравнение описывает tidal effects — гравитационные приливные силы.

Таким образом, компоненты тензора кривизны определяют, насколько сжимаются или растягиваются близко расположенные траектории, свободно падающие в гравитационном поле.

Разложение тензора Римана: Вейлев тензор

В пространстве размерности n ≥ 4 тензор Римана может быть разложен на три компоненты:

$$ R_{\rho\sigma\mu\nu} = C_{\rho\sigma\mu\nu} + \frac{1}{n-2} \left( g_{\rho[\mu} R_{\nu]\sigma} - g_{\sigma[\mu} R_{\nu]\rho} \right) - \frac{R}{(n-1)(n-2)} g_{\rho[\mu} g_{\nu]\sigma}, $$

где C_ρσμν — тензор Вейля. Он инвариантен при конформных преобразованиях метрики и описывает собственно “волновую” часть кривизны — гравитационные волны.

В вакууме, где R_μν = 0, тензор Римана совпадает с тензором Вейля:

R_ρσμν = C_ρσμν.

Гравитационные волны и тензор кривизны

В линейной аппроксимации ОТО на фоне плоского пространства гравитационные возмущения h_μν удовлетворяют волновому уравнению, и тензор Римана линейно выражается через вторые производные от h_μν. Наблюдаемый эффект от гравитационной волны (например, в интерферометре типа LIGO) состоит в изменении расстояний между пробными массами — то есть в отклонении геодезик, вызванном переменными компонентами R_0i0j.

Кривизна в уравнениях Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

показывают, что тензор Риччи и скаляр кривизны определяются через тензор энергии-импульса T_μν. Следовательно, распределение материи и энергии определяет геометрию, а кривизна — движение материи: это геометризация гравитации.

Пространственно-временные симметрии и тензор кривизны

Для различных симметрий метрики тензор кривизны приобретает упрощённую структуру:

• В пространстве постоянной кривизны (например, в сферическом пространстве или анти-де-Ситтеровском пространстве) тензор Римана принимает вид:

  R_ρσμν = K(g_ρμg_σν − g_ρνg_σμ),

  где K — постоянная кривизна.

• В стационарных и стационарно-осесимметричных решениях, таких как метрика Шварцшильда или Керра, тензор кривизны может быть полностью рассчитан и используется для анализа горизонтов, сингулярностей и эргосфер.

Классификация кривизны: алгебра Петрова

Алгебраическая классификация Петрова использует свойства тензора Вейля, чтобы классифицировать возможные формы кривизны в вакууме. Существуют шесть типов (I, II, III, D, N, O), отражающие различные структуры собственных направлений тензора кривизны. Тип D, например, соответствует метрике Шварцшильда и Керра; тип N — гравитационной волне.

Роль кривизны в термодинамике чёрных дыр

Кривизна также играет ключевую роль в формализмах, связывающих гравитацию и термодинамику:

• Температура Хокинга и энтропия Бекенштейна-Хокинга выражаются через геометрические свойства горизонта: площадь, поверхностную гравитацию и свойства тензора кривизны вблизи горизонта.

• Формализм Эйнштейна-Картана, включающий торсион, позволяет обобщить понятие кривизны на более широкий класс геометрий с включением спина.

Тензор кривизны в других теориях гравитации

Во многих обобщениях ОТО — например, в f(R)-теориях, теории Гаусса-Бонне, тензор Римана играет центральную роль. Обобщённые лагранжианы включают инварианты, построенные из R_μνρσ, R_μν, R, например:

$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ f(R, R_{\mu\nu} R^{\mu\nu}, R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma}) + \mathcal{L}_\text{matter} \right]. $$

В этих теориях кривизна может определять не только гравитационные взаимодействия, но и механизмы инфляции, тёмной энергии и модифицированной динамики галактик.

Топологические инварианты и тензор кривизны

С помощью тензора Римана можно построить топологические инварианты:

• Интеграл от инварианта Эйлера–Гаусса–Бонне в 4-мерии:

  $$ \chi = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4x \sqrt{-g} \left( R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} - 4 R_{\mu\nu} R^{\mu\nu} + R^2 \right), $$

  где χ — характеристика Эйлера многообразия.

Такие структуры важны в квантовой гравитации, теории струн и топологической теории поля.

Тензор кривизны и квантовые эффекты

В квантовой теории поля на кривом фоне тензор кривизны входит в выражения для эффективного действия, в частности в аномалии (например, конформной аномалии):

⟨T_μ^μ⟩ ∼ αR_μνρσR^μνρσ + βR_μνR^μν + γR².

Он также участвует в уравнениях движения эффективных скалярных, спинорных и векторных полей, включая минимально и неминимально связанные поля (через члены вида ξRϕ²).