Рассмотрим деформируемое сплошное тело, находящееся под действием внешних нагрузок и внутренних взаимодействий между его элементами. В любом внутреннем сечении тела проявляется распределение внутренних сил, описываемое тензором напряжений. Эти напряжения отражают реакцию материала на внешние воздействия и связаны с изменением формы и объема.
Пусть через малый объём тела проходит мысленная площадка с нормалью n. Вектор внутренней силы, действующей на единичную площадь этой площадки, называется вектором напряжений или вектором касательных напряжений и обозначается
T⃗(n⃗).
Этот вектор описывает силу, с которой одна часть тела действует на другую через площадку, перпендикулярную n⃗. В общем случае он может быть разложен на нормальную и касательную составляющие относительно поверхности.
Согласно постулату Коши, вектор напряжения T⃗(n⃗) выражается через тензор второго ранга σ, называемый тензором напряжений, как
T⃗(n⃗) = σ ⋅ n⃗.
В компонентной форме тензор напряжений записывается как матрица:
$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}, $$
где σij — напряжение, действующее в направлении j на площадку с нормалью вдоль оси i.
Компоненты тензора можно интерпретировать следующим образом:
Тензор напряжений является симметричным в отсутствие объемных моментов:
σij = σji.
Эта симметрия следует из закона сохранения момента импульса.
Для анализа механического состояния тела необходимо учитывать закон сохранения импульса. Пусть f⃗ — вектор массовой силы (например, силы тяжести) на единицу объема, ρ — плотность, a⃗ — ускорение материального элемента.
Рассмотрим элементарный объём dV. На него действуют внутренние силы (описываемые тензором напряжений) и внешние объемные силы. Запишем уравнение движения:
ρa⃗ = ∇ ⋅ σ + ρf⃗,
где ∇ ⋅ σ — дивергенция тензора напряжений, представляющая плотность внутренних сил.
В состоянии механического равновесия ускорение отсутствует (a⃗ = 0), и уравнение упрощается до:
∇ ⋅ σ + ρf⃗ = 0.
В декартовой системе координат уравнения равновесия записываются покомпонентно:
$$ \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} + \rho f_x = 0, $$
$$ \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} + \rho f_y = 0, $$
$$ \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \rho f_z = 0. $$
Эти три уравнения являются основными в теории напряжённого состояния и служат основой для определения распределения внутренних усилий.
Для замыкания системы необходимо установить связь между тензором напряжений и тензором деформаций. Эта связь задаётся законом Гука для упругих тел:
σij = Cijklεkl,
где εkl — тензор деформаций, Cijkl — тензор упругих модулей (модуль Юнга, коэффициент Пуассона и др.).
В изотропной линейно-упругой среде эта связь упрощается:
σij = λδijεkk + 2μεij,
где λ, μ — параметры Ламе, δij — символ Кронекера.
Деформации, в свою очередь, выражаются через градиенты перемещений:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right). $$
Таким образом, система уравнений в задачах механики сплошных сред включает:
В контексте турбулентной гидродинамики возникает необходимость в осреднении уравнений движения. При этом в уравнениях Навье–Стокса появляется так называемый Рейнольдсов тензор напряжений:
$$ R_{ij} = \rho \, \overline{u_i' u_j'}, $$
где штрихи обозначают пульсационные компоненты скорости, а черта — осреднение по ансамблю или времени.
Этот тензор представляет вклад флуктуаций в передаче импульса, аналогичный вязкому напряжению. Он добавляется к среднему тензору вязких напряжений, образуя обобщённый тензор внутренних напряжений в турбулентной среде:
$$ \sigma_{ij}^{\text{eff}} = -\overline{p} \, \delta_{ij} + \mu \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) - \rho \, \overline{u_i' u_j'}. $$
Таким образом, статистические методы в теории турбулентности требуют учета дополнительных тензорных величин, отражающих эффект флуктуаций, и ведут к модифицированным уравнениям равновесия или движения, в которых важную роль играют корреляции скоростей.
Согласно принципу действия и противодействия, тензор напряжений определяет силы, которые одна часть тела оказывает на другую через произвольное сечение. Это обобщение закона Ньютона для непрерывных сред. Кроме того, он допускает естественную интерпретацию как поток импульса через единичную поверхность, что делает его центральной величиной не только в механике, но и в статистической физике и гидродинамике.
Уравнения равновесия, как выражение закона сохранения импульса, имеют универсальное значение и применяются как в классической механике, так и в квантовой теории поля, в общей теории относительности и других разделах современной физики.