Тензоры в декартовых координатах

В декартовой системе координат геометрическая природа тензоров проявляется наиболее наглядно: компоненты тензора можно прямо отождествлять с величинами, измеренными в ортонормированном базисе евклидова пространства. Это существенно упрощает вычисления и позволяет использовать симметрию пространства в полную меру.

Тензоры как многокомпонентные объекты

Тензор — это геометрический объект, компоненты которого трансформируются по определённому закону при смене координат. В декартовой системе координат с ортонормированным базисом {e_i}, где i = 1, 2, 3, мы можем определять тензоры различных рангов следующим образом:

Тензор нулевого ранга — скаляр ϕ;
Тензор первого ранга — вектор v = vⁱe_i;
Тензор второго ранга — объект вида T = T^ije_i ⊗ e_j.

При этом компоненты T^ij можно рассматривать как матрицу, действующую на векторы.

Симметрия и антисимметрия

Особо важную роль играют тензоры, обладающие симметрией:

Симметричный тензор: T^ij = T^ji
Антисимметричный тензор: A^ij = −A^ji

В евклидовом пространстве размерности 3 антисимметричный тензор второго ранга может быть отождествлён с аксиальным вектором (псевдовектором) при помощи символа Леви-Чивиты:

A^ij = ε^ijkω^k

где ω^k — компоненты соответствующего вектора.

Основные операции с тензорами

В декартовых координатах все базисные векторы постоянны, а метрический тензор g_ij = δ_ij, что даёт упрощённые формы для операций:

Свёртка (контракция): уменьшение ранга за счёт суммирования по повторяющемуся индексу, например T_iⁱ — след тензора второго ранга.
Симметризация и антисимметризация: обозначается, соответственно,

$$ T^{(ij)} = \frac{1}{2}(T^{ij} + T^{ji}), \quad T^{[ij]} = \frac{1}{2}(T^{ij} - T^{ji}) $$

Тензорное произведение: из тензоров рангов r и s можно получить тензор ранга r + s с помощью

(T ⊗ S)^{i₁…i_rj₁…j_s} = T^i₁…i_rS^j₁…j_s

Дифференцирование тензоров

В декартовой системе производная от тензора снова тензор, причём обычная частная производная совпадает с ковариантной. Это упрощает формулы:

Градиент скаляра: ∂_iϕ
Дивергенция вектора: ∂_ivⁱ
Ротор вектора: (∇ × v)ⁱ = ε^ijk∂_jv^k
Лапласиан скаляра: Δϕ = ∂_i∂_iϕ

Также важную роль играет тензор производных от вектора:

∂_jvⁱ

который можно разложить на симметричную (тензор деформации) и антисимметричную (тензор вращения) части.

Тензор напряжений и механика сплошной среды

Классическим примером тензора второго ранга является тензор напряжений σ^ij. Его физический смысл: компонента σ^ij — это i-я компонента силы, действующей через элемент поверхности с нормалью вдоль оси j. Уравнение равновесия имеет вид:

∂_jσ^ij + fⁱ = ρaⁱ

где fⁱ — плотность массовых сил, aⁱ — ускорение, ρ — плотность.

Симметрия тензора напряжений (σ^ij = σ^ji) связана с отсутствием внутренних крутящих моментов.

Тензоры в гидродинамике

В турбулентной гидродинамике большое значение имеет тензор скоростных градиентов:

∂_juⁱ

Его симметричная часть отвечает за деформации, а антисимметричная — за вихревую структуру. В статистической теории турбулентности часто рассматриваются корреляционные тензоры, например, тензор второго порядка:

R^ij(r) = ⟨uⁱ(x)u^j(x + r)⟩

Этот тензор описывает пространственную структуру флуктуаций скорости и, как правило, зависит только от r в изотропной и однородной турбулентности. В декартовой системе координат он может быть разложен на инвариантные части с помощью метрического тензора и направляющего вектора rⁱ.

Инварианты тензоров

Для тензора второго ранга важны его инварианты — величины, сохраняющиеся при ортогональных преобразованиях. В трёхмерном евклидовом пространстве это:

Первый инвариант (след): I₁ = T_iⁱ
Второй инвариант: $I_2 = \frac{1}{2}(T^i_{\ i} T^j_{\ j} - T^{ij} T_{ji})$
Третий инвариант (детерминант): I₃ = det (T^ij)

Инварианты играют фундаментальную роль в построении законов сохранения и в теории пластичности, деформаций и турбулентных каскадов.

Декартова система и симметрии пространства

Особенность декартовой системы координат состоит в том, что преобразования координат соответствуют элементам группы O(3) — ортогональной группе, сохраняющей евклидову метрику. Все тензорные уравнения, записанные в такой системе, инвариантны относительно поворотов и отражений. Это позволяет удобно анализировать физические системы, обладающие симметрией, и строить тензорные представления физических величин в виде разложения по базису из симметричных и антисимметричных тензоров.