Теория среднего поля (ТСМ) — это приближённый метод описания коллективного поведения большой системы взаимодействующих частиц или степеней свободы. Её сущность заключается в замене сложного многочастичного взаимодействия эффективным действием среднего поля, создаваемого остальными частицами на одну выбранную. Эта идея пронизывает широкий класс задач — от критических явлений и фазовых переходов до турбулентности и магнитных систем.
В рамках ТСМ флуктуации отклонений от среднего значения пренебрежимо малы, а локальные свойства системы определяются глобальным, усреднённым фоном. Хотя такая аппроксимация не учитывает корреляции на всех масштабах, она позволяет получить аналитические оценки критических параметров и качественное понимание природы переходов.
Особую роль теория среднего поля играет в описании непрерывных (второго рода) фазовых переходов, где наблюдаются спонтанные нарушения симметрии. Параметром порядка служит физическая величина, изменяющаяся от нуля в высокосимметричной фазе (обычно при высокой температуре) к ненулевому значению в низкосимметричной фазе.
Для конкретности рассмотрим классический ферромагнетик. Параметр порядка — намагниченность M, зависящая от температуры T и внешнего поля H. При высоких температурах M = 0, а при T < Tc возникает самопроизвольная намагниченность. Критическая температура Tc — точка фазового перехода.
Ландау предложил универсальный подход к описанию фазовых переходов на основе разложения свободной энергии F в функционал от параметра порядка с учётом симметрий и аналитичности:
F[M] = F0 + a(T)M2 + bM4 + ⋯ − HM,
где коэффициенты a(T) и b определяют форму потенциала. Коэффициент a(T) считается линейной функцией температуры:
a(T) = a0(T − Tc),
с a0 > 0, а b > 0 для устойчивости.
Стационарные состояния находятся из условия минимума свободной энергии:
$$ \frac{\partial F}{\partial M} = 0 \Rightarrow 2a(T) M + 4b M^3 - H = 0. $$
В отсутствии поля (H = 0), при T > Tc решение M = 0 соответствует минимуму, тогда как при T < Tc появляются два симметричных минимума $M = \pm \sqrt{-a(T)/2b}$, указывающие на спонтанное нарушение симметрии.
Анализ даёт критические показатели, характеризующие поведение системы при T → Tc:
Эти значения определяются исключительно структурой разложения Ландау и не зависят от размерности, т.е. являются предсказаниями теории среднего поля. Однако реальные системы показывают отклонения, особенно вблизи критической точки, где флуктуации играют ключевую роль.
Для учёта пространственных изменений параметра порядка ψ(r) вводится обобщённый функционал Гинзбурга–Ландау:
$$ F[\psi] = \int \left[ a |\psi|^2 + \frac{b}{2} |\psi|^4 + \frac{c}{2} |\nabla \psi|^2 \right] d^3\mathbf{r}. $$
Термин с градиентом учитывает энергетическую цену пространственных вариаций ψ. Уравнение Эйлера–Лагранжа для минимума:
aψ + b|ψ|2ψ − c∇2ψ = 0,
даёт основу для описания доменных структур, корреляционных длин, критических флуктуаций и даже топологических дефектов.
Одним из фундаментальных ограничений ТСМ является критерий Гинзбурга, оценивающий значимость флуктуаций по сравнению со среднеполевыми величинами. Для d-мерного пространства:
$$ G \sim \frac{T_c^{d/2}}{\xi^{d} \Delta F}, $$
где ξ — корреляционная длина, ΔF — плотность свободной энергии. При G ≪ 1 теория среднего поля применима. При d < dc (критическая размерность) флуктуации доминируют, и необходимо использовать более точные методы (например, ренормализационную группу).
Для моделей типа ϕ4, dc = 4. В размерности ниже четырёх теория Ландау качественно верна, но количественно требует корректировок.
Теория среднего поля может быть строго выведена как предел при N → ∞ для моделей с взаимодействием всех со всеми (например, модель Кюри–Вайса в магнитизме). В этом смысле ТСМ — это нулевая аппроксимация по малому параметру, характеризующему обратную размерность или интенсивность флуктуаций.
В контексте статистической физики свободная энергия выражается как:
F = −kBTln Z,
а Z — статистическая сумма. Если H[ϕ] — гамильтониан в функциональном виде, то приближение среднего поля соответствует замене интеграла по всем полям ϕ на экстремальное значение:
Z ≈ e−H[ϕcl]/kBT.
Это соответствует методу стационарной фазы в функциональном интеграле.
Хотя турбулентность — это неравновесное, сильно нелинейное явление, принципы среднего поля используются и здесь. Пример — приближение Рейнольдса, в котором поле скоростей u разлагается на среднее и флуктуационное:
$$ \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}', $$
а уравнения Навье–Стокса усредняются по ансамблю или времени. Возникает турбулентный тензор напряжений, играющий роль “среднего поля” от флуктуаций. Для замыкания системы используются гипотезы типа приближения Буссинеска, которые аналогичны эффективным полям в теории Ландау.
Более формально, теория Ландау применялась к турбулентности в рамках моделей многошкальных взаимодействий, где спонтанное нарушение изотропии или инверсии энергии трактуется как фазовый переход в статистической структуре течения. Некоторые модели турбулентности на основе теории РГ или моделей типа ϕ4 стремятся уловить аналогии между критическим поведением и крупномасштабной организацией вихрей.
Теория Ландау легко адаптируется к разным типам симметрий: скалярные, векторные, тензорные поля порядка, непрерывные и дискретные группы. Для сверхпроводимости (параметр порядка — комплексное поле), жидких кристаллов (тензор порядка), сверхтекучести, моделей ИЗИНА, XY, Хейзенберга и др., формулируются соответствующие функционалы энергии, и анализ их минимумов даёт универсальное описание фазовых переходов.
Также теория обобщается на динамические процессы — теория Ландау–Кальатары, стохастические уравнения Ланжевена, уравнения Гинзбурга–Ландау с шумом и др.
Теория Ландау — вершина классического мышления о фазовых переходах: она объединяет симметрию, спонтанное нарушение, критические явления и варьируемость. Однако её применимость ограничена:
Тем не менее, она остаётся универсальным языком для описания макроскопической самоорганизации, и её принципы находят отклик даже в сложнейших областях — от космологии до биофизики.