Турбулентные потоки представляют собой фундаментально стохастические процессы, характеризующиеся наличием широкого спектра масштабов движения, нестабильностями, вихревыми структурами и нелинейными взаимодействиями между ними. Прямое аналитическое решение уравнений Навье–Стокса в турбулентной области практически невозможно из-за огромной размерности фазового пространства и чувствительности к начальным условиям.
Переход от детерминированного описания к статистическому неизбежен: вместо отслеживания каждой траектории частиц рассматриваются усреднённые величины и вероятностные распределения. Центральным объектом становится функция распределения скоростей или энергетический спектр, отражающий вклад различных масштабов в общую кинетическую энергию потока.
Первый шаг в статистической теории турбулентности — декомпозиция переменных в уравнении Навье–Стокса:
$$ \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) = \overline{\mathbf{u}}(\mathbf{x}, t) + \mathbf{u}'(\mathbf{x}, t) $$
где $\overline{\mathbf{u}}$ — средняя скорость, а u′ — флуктуации.
Подставляя это разложение в уравнения движения и усредняя по ансамблю (или по времени при стационарности), получаем так называемые уравнения Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial t} + \overline{u}_j \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u}_i}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j} $$
Последний член, тензор Рейнольдсовых напряжений $\overline{u_i' u_j'}$, порождает замыкающую проблему: для получения закрытой системы необходимо выразить корреляции флуктуаций через усреднённые переменные.
Существует несколько подходов к решению задачи замыкания:
$$ \overline{u_i' u_j'} = -\nu_t \left( \frac{\partial \overline{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3}k\delta_{ij} $$
где $k = \frac{1}{2}\overline{u_k' u_k'}$ — турбулентная кинетическая энергия.
Модели k-ε, k-ω: вводятся уравнения на эволюцию турбулентной энергии k и скорости её диссипации ε. Это позволяет описать более сложные режимы турбулентности.
Динамические модели, основанные на масштабной инвариантности и априорных вычислениях.
Одним из ключевых объектов в статистической гидродинамике является двухточечная корреляционная функция скорости:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}) = \overline{u_i(\mathbf{x}) u_j(\mathbf{x} + \mathbf{r})} $$
Связанный с ней объект — энергетический спектр E(k), характеризующий распределение энергии по волновым числам. В инерциальном интервале Кольмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3
где ε — скорость диссипации энергии. Эта зависимость подтверждена как теоретически, так и экспериментально, и отражает самоподобную структуру турбулентного каскада.
Для более глубокого анализа применяются методы теории случайных процессов:
Теория струн возникла как попытка объединить квантовую механику и общую теорию относительности в единую теорию гравитации на фундаментальном уровне. В отличие от точечных частиц стандартной модели, здесь основными объектами являются одномерные структуры — струны, способные вибрировать с различными модами, каждая из которых соответствует частице с определёнными массой и спином.
Ключевой особенностью теории струн является необходимость существования дополнительных пространственных измерений. Классическая суперструнная теория требует 10-мерного пространства-времени, а M-теория — 11-мерного.
Динамика струны описывается действием Намбю–Гото:
$$ S = -T \int d\tau d\sigma \sqrt{-\det\left( \frac{\partial X^\mu}{\partial \xi^a} \frac{\partial X_\mu}{\partial \xi^b} \right)} $$
где T — натяжение струны, Xμ(τ, σ) — координаты струны в пространстве Минковского, ξa = (τ, σ) — координаты на мире струны.
В квантовом случае динамика приводит к спектру возбуждений, в котором естественным образом возникает безмассовый бозон со спином 2 — гравитон, что подтверждает соответствие теории струн с квантовой гравитацией.
Поскольку дополнительные измерения не наблюдаются напрямую, предполагается, что они компактны, свернуты на масштабах порядка длины Планка (10−35 м). Один из распространённых способов компактфикации — использование многообразий Калаби–Яу, шестимерных компактных римановых многообразий, сохраняющих N = 1 суперсимметрию в 4 измерениях.
Геометрия этих многообразий определяет спектр низкоэнергетических полей, возникающих в эффективной теории. Таким образом, физика наблюдаемого мира тесно связана со структурой многомерного пространства.
Теория струн допускает множество различных формулировок (тип I, IIA, IIB, гетеротические струны), между которыми существуют дуальности:
Эти связи указывают на существование более фундаментальной теории — M-теории, живущей в 11 измерениях и включающей двумерные и трёхмерные объекты: мембраны и 3-браны.
Важным шагом стало введение Dp-бран, на которых могут оканчиваться открытые струны. Браны играют фундаментальную роль:
Для согласованности теория струн требует строгой отмены калибровочных и гравитационных аномалий. Это ограничивает допустимые размерности, калибровочные группы и спектры возбуждений. Кроме того, квантовые поправки включают:
Хотя экспериментального подтверждения теории струн пока нет, она предлагает механизмы:
Методы теории струн также находят применение в таких различных областях, как:
Таким образом, теория струн, несмотря на свою математическую абстрактность, остаётся одной из наиболее мощных и перспективных кандидатур на роль универсальной теории природы.