Основные уравнения теории упругости
Рассмотрим сплошную среду, способную к упругим деформациям. При действии внешних нагрузок в теле возникают смещения, порождающие деформации, которые, в свою очередь, вызывают внутренние силы — напряжения. Задача теории упругости заключается в определении напряжений и деформаций, возникающих в теле при заданных внешних воздействиях.
Кинематическое описание смещений тела осуществляется при помощи вектора смещения
u = (u1, u2, u3),
где ui — компоненты смещения точки тела. Деформация описывается тензором малых деформаций:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right), $$
который симметричен: εij = εji. Эти компоненты отражают относительные изменения расстояний и углов между частицами тела.
Напряжённое состояние описывается тензором напряжений σij, где σij — проекция силы на i-ю координатную ось, действующей на площадку с нормалью вдоль оси xj. Тензор симметричен в условиях равновесия: σij = σji.
Уравнения равновесия
Для покоящейся упругой среды уравнения равновесия принимают вид:
$$ \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0, $$
где fi — компоненты объемной силы (например, силы тяжести). Данная система уравнений выражает баланс линейного импульса.
Если необходимо учитывать моменты, то из симметрии тензора напряжений σij = σji следует выполнение баланса моментов.
Связь между напряжениями и деформациями — закон Гука
В линейной теории упругости предполагается, что существует линейная связь между напряжениями и деформациями. Эта связь задаётся обобщённым законом Гука:
σij = Cijklεkl,
где Cijkl — тензор упругих модулей четвёртого ранга, обладающий определённой симметрией:
В наиболее часто встречающемся случае изотропного материала зависимость существенно упрощается. Закон Гука в этом случае выражается через два упругих модуля: модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν, либо через модуль сдвига G и объёмный модуль K.
В декартовой системе координат для изотропной среды:
σij = λδijεkk + 2μεij,
где λ и μ — коэффициенты Ламе. Обратно:
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1+\nu}{E} \sigma_{ij} - \frac{\nu}{E} \delta_{ij} \sigma_{kk}. $$
Основные модули упругости
Связь между различными упругими характеристиками:
Модуль сдвига G = μ;
Модуль Юнга:
$$ E = \frac{\mu(3\lambda + 2\mu)}{\lambda + \mu}; $$
Объёмный модуль:
$$ K = \lambda + \frac{2}{3} \mu; $$
Коэффициент Пуассона:
$$ \nu = \frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)}. $$
Эти параметры характеризуют поведение материала при различных типах деформации: сдвиге, растяжении и сжатии.
Уравнения Ламе
Подставляя обобщённый закон Гука в уравнения равновесия, получаем систему уравнений Ламе для перемещений:
μ∇2u + (λ + μ)∇(∇ ⋅ u) + f = 0.
Эта система уравнений позволяет находить вектор смещения в упругом теле при известных внешних нагрузках.
Поглощение и затухание. Комплексные модули
Для описания диссипативных процессов в реальных материалах вводятся комплексные модули упругости:
μ̃ = μ′ + iμ″, Ẽ = E′ + iE″,
где мнимая часть отвечает за потери энергии при деформациях. Это важно, например, при моделировании сейсмических волн или вибрационных процессов.
Энергия упругой деформации
Плотность энергии, накапливаемой в упруго деформируемом теле:
$$ W = \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}. $$
Для изотропной среды через деформации:
$$ W = \frac{1}{2} \lambda (\varepsilon_{kk})^2 + \mu \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij}. $$
Функция W симметрична и положительно определена в рамках условий устойчивости.
Статистические методы в теории упругости
В микроскопической теории упругости свойства среды описываются на основе распределения атомов, молекул или элементов структуры. Тогда тензор упругих констант определяется через статистическое усреднение по ансамблю возможных конфигураций.
Для случайно неоднородных или композитных материалов вводится эффективная теория упругости, в которой реальные механические параметры заменяются средними величинами. Классический подход к вычислению эффективных модулей — метод самоосогласования, метод Ванга-Хашина, модель Эшби и др.
Флуктуации напряжений и деформаций также могут учитываться через корреляционные функции:
⟨σij(x)σkl(x + r)⟩,
что важно в задачах с турбулентной или стохастической нагрузкой.
Связь с турбулентностью: аналогии и расширения
Хотя турбулентность — явление, характерное для жидкостей и газов, в последнее время исследуются аналогии с упругими средами. Так, при распространении ударных волн или при разрушении возникает «турбулентность напряжений», в которой флуктуации напряжений и деформаций подчиняются степенным спектрам.
С помощью статистических методов описываются распределения деформаций при пластических и разрушительных процессах, где появляются нерегулярные поля напряжений. В таких случаях вводятся вероятностные функции плотности распределения напряжений, аналогичные распределениям скоростей в турбулентных потоках.
Тензоры деформации высших порядков и обобщённые модели
В задачах микромеханики и механики материалов с внутренней структурой используют обобщённые модели упругости, включающие тензоры деформаций второго порядка (градиентной упругости) или модели Коссера — среды с микровращениями. Эти модели обеспечивают более точное описание поведения материалов при высоких градиентах напряжений, особенно на микроскопических масштабах.
Математические аспекты задач упругости
Типичная краевая задача линейной упругости формулируется как задача для эллиптической системы уравнений с краевыми условиями:
Для строгой постановки задачи используется функциональный анализ: пространство Соболева, слабые решения, вариационные формулировки.
Принцип минимизации потенциальной энергии даёт основу для численных методов, в частности, метода конечных элементов:
δ∫ΩW(ε(u)) dV = 0.
Такая постановка даёт возможность решать задачи упругости численно для тел произвольной формы и при произвольных нагрузках.
Роль симметрий и инвариантов
Изотропия, анизотропия, ортотропия — ключевые характеристики упругих тел. Математически симметрия упругих свойств описывается инвариантами тензора упругих модулей. В частности, в теории представлений группы вращений выделяются компоненты тензора упругости, инвариантные при преобразованиях симметрии.
В теории групп используются методы спектрального разложения, позволяющие выделять независимые модули в анизотропных средах (например, в кристаллах). Такие разложения важны для интерпретации физических экспериментов и создания моделей упругости материалов с известной симметрией.
Нелинейная теория упругости
В случае больших деформаций линейные приближения неприменимы. Тогда используются нелинейные тензоры деформаций, например, тензор Грина-Лагранжа:
$$ E_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_k}{\partial x_i} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} + \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right). $$
Связь между напряжениями и деформациями в нелинейной теории зависит от энергии деформации как функции полной деформации. Обратная задача усложняется, поскольку тензор напряжений перестаёт быть линейной функцией тензора деформаций.
Нелинейные эффекты приводят к возникновению солитонов, фронтов деформаций и других нелинейных волн, чья динамика требует численного моделирования и нелинейного анализа.