В системах конденсированного состояния топологические свойства возникают как фундаментальные характеристики квантовых состояний вещества. Примерами таких состояний являются топологические изоляторы, сверхпроводники и квантовые спиновые жидкости. Ключевую роль в описании этих систем играют топологические инварианты, такие как число Черна, инвариант З₂, винтовое число и π₁-группы фундаментальной группы.
Рассмотрим двумерную электронную систему в сильном магнитном поле (эффект Квантового Холла). Проведя интеграл по первой зоне Бриллюэна от кривизны Берри, получаем:
$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \Omega(\mathbf{k})\, d^2k, $$
где Ω(k) — кривизна Берри. Этот число Черна определяет квантование холловской проводимости:
$$ \sigma_{xy} = \frac{e^2}{h} C. $$
Топологические фазовые переходы происходят без нарушения симметрии и не описываются традиционной теорией Ландау. Такие переходы сопровождаются скачкообразным изменением топологического инварианта при непрерывной перестройке гамильтониана, например, при изменении соотношения спин-орбитального взаимодействия и химического потенциала.
Во многих топологически защищённых состояниях возникают дефекты, такие как вихри, доменные стены и дислокации. В гелий-II и В-фазе 3He наблюдаются квантованные вихри. Их циркуляция квантована:
$$ \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = \frac{h}{m} n, \quad n \in \mathbb{Z}, $$
что отражает топологическую природу: дефект описывается элементом группы π1(S1) = ℤ.
Для p-волнового сверхпроводника и p+ip фазы топологическая структура вихрей описывается не только первой гомотопической группой, но и более тонкими объектами, как нули суперпроводящей фазы, несущие нецелые квазичастицы — майорановские моды, локализованные на краях или в ядрах вихрей.
Квазичастицы в топологических фазах могут подчиняться нелокальной статистике, отличной от бозонной или фермионной. Это так называемые анионы, особенно в дробном квантовом эффекте Холла. Их статистика описывается не симметрической группой, как для бозонов и фермионов, а группой кос (braid group):
Bn = ⟨σ1, …, σn − 1 ∣ σiσi + 1σi = σi + 1σiσi + 1⟩,
где σi — обмен i-й и (i+1)-й частиц. Обмен приводит к унитарному преобразованию в гильбертовом пространстве состояния, что лежит в основе топологического квантового вычисления.
Важнейшую роль играют топологические структуры не только в реальном пространстве, но и в пространстве параметров гамильтониана. Пусть гамильтониан зависит от параметров λ, образующих многообразие M. Тогда кривизна Берри определяется как:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ, Aμ = i⟨ψ(λ)|∂μψ(λ)⟩,
а соответствующий первый класс Черна:
$$ c_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{M} F. $$
Это ведёт к понятию топологического индекса, устойчивого к малым возмущениям и определяющего наблюдаемые эффекты, такие как кванты проводимости или топологически защищённые края.
Турбулентное течение содержит множество вихрей и спиральных структур. Топологически они могут быть описаны с помощью теории узлов и зацеплений. В трёхмерной гидродинамике важным является вихревая линия (vortex line), определяемая нулем вектора скорости или максимумом вихря:
ω = ∇ × v.
Эти линии могут быть зацеплены, и их топологический инвариант — геликальность:
H = ∫v ⋅ ω d3x,
который сохраняется в идеальной несжимаемой жидкости. Геликальность аналогична понятию скалярного произведения между полем и его вихрем, и связана с числом зацеплений вихревых трубок.
Для описания статистики турбулентности вводятся функциональные интегралы по пространству конфигураций скорости и давления. При этом топологические свойства могут задаваться как ограничение на классы полей. В частности, при описании адиабатических инвариантов и консервации геликальности удобно использовать формализм Кальц-Райна:
Z = ∫????v δ(∇ ⋅ v) δ(∂tv + (v ⋅ ∇)v + ∇p − ν∇2v)eiS[v].
Сохранение геликальности накладывает дополнительные условия на допустимые конфигурации в функциональном интеграле, что приводит к эффективной редукции фазового пространства.
Пусть поле скоростей v(x) на трёхмерном многообразии описывает гладкое поле векторных касательных. Тогда его топология может быть изучена через характеристические классы. Например, в присутствии особых точек (сингулярностей поля) можно определить индекс Пуанкаре-Хопфа:
∑iindex(v, xi) = χ(M),
где χ(M) — эйлерова характеристика многообразия M, на котором задано поле.
Такие подходы открывают путь к пониманию глубинной связи между геометрией течения, его топологическими особенностями и статистическим поведением в режиме турбулентности.
В двумерных системах, как XY-модель или плоский гелий-II, роль играют вихревые конфигурации. При температуре ниже определённого порога вихри и анти-вихри связаны в пары, но при превышении критической температуры происходит их разъединение — переход Березинского–Костерлица–Таулеса (BKT).
Этот переход носит топологический характер и описывается через взаимодействие дефектов, представляемых точечными зарядами на плоскости:
$$ H = -\sum_{i < j} q_i q_j \ln \left( \frac{|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|}{a} \right), $$
где qi = ±1 — заряд вихря. Эта система эквивалентна классическому двумерному кулоновскому газу и позволяет применить методы статистической механики для анализа фазового поведения.
Многие физические топологические инварианты имеют калибровочное происхождение. Так, θ-терм в топологической электродинамике:
$$ S_\theta = \frac{\theta}{8\pi^2} \int F \wedge F, $$
влияет на квантовые интерференционные эффекты, несмотря на его полную производную структуру. Этот член не влияет на уравнения движения, но имеет физический эффект при наличии топологически нетривиальных конфигураций поля, таких как монополи или доменные стены.
Некоторые классы моделей с топологическими степенями свободы допускают точное интегрирование, включая синус-Гордон, нелинейную σ-модель, модели с солитонными решениями. В турбулентных системах с доминирующими коерентными структурами наблюдаются признаки перехода к солитонной турбулентности, где вихри ведут себя как взаимодействующие квазичастицы.
В таком случае топология фазового пространства становится определяющим фактором в описании динамики и статистики.