Угловой момент — это векторная величина, характеризующая вращательное движение тела или системы частиц относительно заданной точки (чаще всего центра масс или начала координат). В классической механике угловой момент частицы с радиус-вектором r и импульсом p определяется как:
L = r × p
Где знак «×» означает векторное произведение. Угловой момент замкнутой системы сохраняется, если результирующий момент внешних сил равен нулю:
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{M}_{\text{внешн.}} $$
Если Mвнешн. = 0, то L = const. Это фундаментальный закон сохранения, лежащий в основе многих физических процессов.
В декартовой системе координат угловой момент имеет три компоненты:
Lx = ypz − zpy, Ly = zpx − xpz, Lz = xpy − ypx
Эти компоненты не коммутируют между собой при переходе к квантовой механике, что связано с их фундаментальной ролью в симметрии пространства.
В квантовой механике угловой момент представляется оператором. Компоненты углового момента в представлении координат имеют вид:
$$ \hat{L}_x = -i\hbar \left(y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y} \right), \quad \hat{L}_y = -i\hbar \left(z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z} \right), \quad \hat{L}_z = -i\hbar \left(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right) $$
Полный квадрат оператора углового момента:
L̂2 = L̂x2 + L̂y2 + L̂z2
Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:
[L̂x, L̂y] = iℏL̂z, [L̂y, L̂z] = iℏL̂x, [L̂z, L̂x] = iℏL̂y
и
[L̂2, L̂i] = 0 (i = x, y, z)
Это означает, что L̂2 и любая одна из компонент (обычно L̂z) могут иметь общую систему собственных функций.
Собственные значения L̂2 и L̂z задаются квантовыми числами l и m:
L̂2Ylm = ℏ2l(l + 1)Ylm, L̂zYlm = ℏmYlm
где l = 0, 1, 2, …, m = −l, −l + 1, …, l, а Ylm(θ, φ) — сферические гармоники.
Операторы углового момента реализуют алгебру Ли группы вращений SO(3). Генераторы вращений удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и операторы L̂i. Эта алгебра играет ключевую роль в теории представлений, особенно при классификации состояний частиц.
В дополнение к орбитальному угловому моменту в квантовой механике существует спин — внутренний угловой момент, не имеющий классического аналога. Он описывается оператором $\hat{\mathbf{S}}$, с компонентами, удовлетворяющими тем же соотношениям коммутации, что и орбитальные:
[Ŝi, Ŝj] = iℏϵijkŜk
где ϵijk — символ Леви-Чивиты.
Однако спин принимает полуцелые значения: s = 1/2, 3/2, …, в отличие от орбитального момента, где l — целое число. Оператор Ŝ2 имеет собственные значения:
Ŝ2|s, ms⟩ = ℏ2s(s + 1)|s, ms⟩
Ŝz|s, ms⟩ = ℏms|s, ms⟩, ms = −s, …, s
Для частиц со спином 1/2 (например, электронов) компоненты спина выражаются через матрицы Паули:
$$ \hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad \hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad \hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z $$
где
$$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
Эти матрицы реализуют представление алгебры SU(2), двойственного покрытия группы SO(3).
Полный угловой момент системы:
$$ \hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}} $$
Компоненты Ĵi также удовлетворяют коммутационным соотношениям Ли-алгебры. Однако [L̂i, Ŝj] = 0, так как орбитальный и спиновый моменты действуют в различных подпространствах.
Собственные значения Ĵ2 определяются квантовым числом j, которое принимает значения j = |l − s|, |l − s| + 1, …, l + s. Для l = 1 и s = 1/2, возможны j = 1/2, 3/2.
Группа SU(2) является универсальным накрытием SO(3). Представления SU(2) классифицируются по спину s, который может быть как целым, так и полуцелым числом. Пространства представлений имеют размерность 2s + 1, что соответствует числу допустимых проекций m.
В атомной физике важную роль играет взаимодействие между орбитальным и спиновым моментами — так называемое спин-орбитальное взаимодействие. Оно приводит к тонкому расщеплению энергетических уровней:
$$ H_{SO} \propto \hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} $$
Это взаимодействие учитывается в приближении LS-связи (Russell–Saunders coupling), особенно при описании легких атомов.
Компоненты углового момента непосредственно измеримы в экспериментах, таких как эффект Зеемана (расщепление уровней в магнитном поле), эффект Штерна–Герлаха (разделение пучков по проекции спина), резонанс ЭПР и ядерный магнитный резонанс. Эти явления подтверждают квантовую природу спина и углового момента.
В квантовой теории поля спин характеризует представление группы Лоренца, к которому принадлежит поле. Например:
Это отражает глубинную связь между симметрией пространства-времени и внутренними степенями свободы элементарных частиц.