Уравнение Лапласа — одно из фундаментальных уравнений математической физики, описывающее стационарные состояния в различных физических процессах, таких как теплопроводность, электростатика, гидродинамика и теория упругости. Оно записывается в виде:
Δu = 0,
где Δ — оператор Лапласа, определяемый как
$$ \Delta u = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} $$
в n-мерном евклидовом пространстве.
В двумерном и трёхмерном случаях:
$$ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \quad \text{(в 2D),} \qquad \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \quad \text{(в 3D).} $$
Функция u(x), удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.
Если u и v — гармонические функции, то линейная комбинация au + bv также гармонична. Это следует из линейности оператора Лапласа.
Гармоническая функция, определённая в замкнутой области Ω ⊂ ℝn, достигает своих экстремальных значений только на границе ∂Ω, если $u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$. Это свойство исключает наличие локальных максимумов или минимумов внутри области, что делает уравнение Лапласа эллиптическим и стабильным с точки зрения начальных и граничных условий.
Для задач Дирихле с заданием граничных значений на ∂Ω, гармоническое уравнение имеет не более одного решения. Это следствие принципа максимума.
Значение гармонической функции в точке равно среднему значению по сфере (или шару) с центром в этой точке:
$$ u(x_0) = \frac{1}{|\partial B_r(x_0)|} \int_{\partial B_r(x_0)} u(s)\,ds, $$
если Br(x0) ⊂ Ω. Это свойство подтверждает гладкость и регулярность решений.
Найти функцию u, гармоническую в Ω ⊂ ℝn, такую что:
$$ \begin{cases} \Delta u = 0, & x \in \Omega, \\ u = f, & x \in \partial \Omega. \end{cases} $$
Решения задачи Дирихле представляют собой модели стационарных распределений температуры или потенциала.
Определяется значениями нормальной производной на границе:
$$ \begin{cases} \Delta u = 0, & x \in \Omega, \\ \frac{\partial u}{\partial n} = g, & x \in \partial \Omega. \end{cases} $$
Гарантированное существование решения требует условия:
∫∂Ωg dS = 0.
В трёхмерном пространстве функция
$$ u(x) = \frac{1}{|x - x_0|} $$
удовлетворяет уравнению Лапласа вне точки x = x0. Это фундаментальное решение уравнения Лапласа в ℝ3.
В двумерных полярных координатах уравнение Лапласа принимает вид:
$$ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0. $$
Ищем решения методом разделения переменных:
u(r, θ) = R(r)Θ(θ).
Подстановка приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям:
r2R″ + rR′ − n2R = 0, Θ″ + n2Θ = 0.
Отсюда решения:
$$ u(r, \theta) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n r^n + b_n r^{-n} \right) \left( c_n \cos(n\theta) + d_n \sin(n\theta) \right). $$
Гармонические функции естественным образом возникают как потенциалы безвихревых и бесисточниковых векторных полей. Пусть F = ∇u, тогда:
rot F = 0, div F = Δu = 0.
Таким образом, u — скалярный потенциал поля F, удовлетворяющий уравнению Лапласа.
Уравнение Лапласа тесно связано с броуновским движением. Среднее значение гармонической функции по случайной траектории броуновской частицы, стартующей из точки x ∈ Ω, равно значению функции в точке x. Это соответствует гармоническому свойству броуновских траекторий и лежит в основе метода стохастического решения уравнения Лапласа (метод Монте-Карло).
Для n ≥ 3 фундаментальное решение имеет вид:
$$ \Phi(x) = \frac{1}{(n - 2)\omega_n} \cdot \frac{1}{|x|^{n - 2}}, $$
где ωn — объём единичной сферы в ℝn. Это решение удовлетворяет:
ΔΦ = −δ(x),
в смысле обобщённых функций. Оно используется для построения решений с помощью свёртки:
u(x) = ∫ℝnΦ(x − y)f(y) dy.
Для области Ω и фиксированной точки x ∈ Ω функция Грина G(x, ξ) удовлетворяет:
ΔξG(x, ξ) = −δ(x − ξ), G(x, ξ) = 0 при ξ ∈ ∂Ω.
Решение задачи Дирихле выражается через G:
$$ u(x) = \int_{\partial \Omega} \left[ G(x, \xi) \frac{\partial u}{\partial n}(\xi) - \frac{\partial G}{\partial n_\xi}(x, \xi) u(\xi) \right] dS(\xi). $$
В двумерном случае гармонические функции — это вещественные и мнимые части аналитических функций. Пусть f(z) = u(x, y) + iv(x, y), где z = x + iy, тогда u и v удовлетворяют:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0. $$
Связь между ними задаётся уравнениями Коши–Римана:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. $$
Рассмотрим задачу:
$$ \begin{cases} -\Delta u = \lambda u, & x \in \Omega, \\ u = 0, & x \in \partial \Omega. \end{cases} $$
Это собственная задача для оператора Лапласа. Собственные значения λn и соответствующие собственные функции un формируют полный базис в пространстве L2(Ω), что позволяет разложить произвольные функции по собственным гармоникам.