Формулировка уравнения Пуассона
Уравнение Пуассона — это обобщение уравнения Лапласа, которое возникает в задачах о распределении потенциальных полей при наличии источников. В трёхмерном евклидовом пространстве оно имеет вид:
Δφ(r) = −ρ(r),
где Δ = ∇2 — оператор Лапласа, φ(r) — скалярный потенциальный потенциал, ρ(r) — плотность источников.
Это уравнение встречается в гравитации (Ньютоновская теория), электростатике (закон Кулона), гидродинамике (потенциальные потоки), а также в задачах теплопроводности и диффузии.
Связь с уравнением Лапласа
Уравнение Лапласа:
Δφ = 0
является частным случаем уравнения Пуассона при ρ = 0, то есть при отсутствии источников. Решения уравнения Лапласа описывают гармонические функции, которые обладают важными свойствами: принцип максимумов, аналитичность, среднее значение по сфере и др.
Физические интерпретации
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \mathbf{E} = -\nabla \varphi \Rightarrow \Delta \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}. $$
ΔΦ = 4πGρm,
где G — гравитационная постоянная.
Фундаментальное решение в трёхмерном пространстве
Фундаментальным решением уравнения Пуассона в ℝ3 является функция:
$$ \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi |\mathbf{r}|}, $$
так что для произвольной функции источников:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\mathbf{r'})}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, d^3 r'. $$
Этот интеграл представляет собой свёртку ρ * Φ, и даёт классическое решение задачи с бесконечной областью.
Метод Грина
Для области Ω ⊂ ℝn с границей ∂Ω, и заданными граничными условиями (Дирихле или Неймана), решение уравнения Пуассона может быть выражено через функцию Грина G(r, r′):
φ(r) = ∫ΩG(r, r′)ρ(r′) dnr′ + (граничный член).
Функция Грина удовлетворяет:
Δr′G(r, r′) = −δ(r − r′), с граничными условиями на ∂Ω.
Фурье-методы
Если область задачи — вся ℝn или параллелепипед с периодическими граничными условиями, применяется преобразование Фурье:
$$ \hat{\varphi}(\mathbf{k}) = \frac{\hat{\rho}(\mathbf{k})}{|\mathbf{k}|^2}, $$
где φ̂, ρ̂ — образы Фурье потенциала и плотности. Обратное преобразование даёт решение:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\hat{\rho}(\mathbf{k})}{|\mathbf{k}|^2} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \, \frac{d^n k}{(2\pi)^n}. $$
Фурье-методы особенно эффективны при численном решении задач в прямоугольных и периодических областях.
Консервативные векторные поля
Если векторное поле F выражается как градиент скалярной функции φ, т.е.
F = −∇φ,
то оно называется потенциальным или консервативным. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю:
∮CF ⋅ dr = 0.
Потенциальные поля играют центральную роль в механике, электродинамике и теории поля.
Свойства решений уравнения Пуассона
Линейность. Решение линейно по правой части: если ρ = ρ1 + ρ2, то φ = φ1 + φ2.
Гладкость. Если ρ ∈ Ck, то φ ∈ Ck + 2 при подходящих условиях на границе.
Симметрия. Если ρ(r) обладает симметрией (сферической, цилиндрической), то и φ наследует эту симметрию.
Энергетическая интерпретация. Функция φ минимизирует функционал энергии:
$$ \mathcal{E}[\varphi] = \frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla \varphi|^2 \, d^n r - \int_{\Omega} \rho \varphi \, d^n r, $$
что важно для вариационных методов.
Потенциальная компонента в разложении Гельмгольца
Любое векторное поле (в разумных условиях) может быть разложено на безвихревую (потенциальную) и соленоидальную (вихревую) части:
v = −∇φ + ∇ × A,
где φ и A определяются через уравнение Пуассона. Это разложение играет ключевую роль в теории турбулентности при декомпозиции поля скорости на компоненты с различными физическими свойствами.
Уравнение Пуассона для давления в уравнениях Навье — Стокса
В инерциальных турбулентных течениях давление вычисляется из уравнения:
Δp = −ρ∇ ⋅ (v ⋅ ∇v),
что представляет собой уравнение Пуассона для давления p при заданном поле скорости v. Это уравнение возникает при проецировании уравнения движения на бездивергентное подпространство и используется во многих численных методах моделирования турбулентности.
Корреляционные функции и уравнение Пуассона
В статистической теории турбулентности рассматриваются корреляционные функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям, аналогичным уравнению Пуассона. Например, в изотропной турбулентности второй порядок автокорреляции может быть описан уравнением вида:
ΔR(r) = −f(r),
где R(r) — корреляционная функция, f(r) — статистическая характеристика распределения вихрей. Решение подобных уравнений даёт информацию о структуре турбулентных флуктуаций.
Спектральные методы и энергия поля
В турбулентных течениях широко применяются спектральные методы. Потенциальные поля, как и вихревые, анализируются в пространстве Фурье, и уравнение Пуассона позволяет связать спектр плотности источников и спектр потенциала:
$$ E_\varphi(k) \propto \frac{E_\rho(k)}{k^4}, $$
что означает, что высокочастотные компоненты потенциала значительно ослаблены по сравнению с источниками. Это важно при анализе энергии и каскадов в турбулентности.
Сетка и разностные схемы
Для численного решения уравнения Пуассона в ограниченных областях используются конечные разности или элементы. На прямоугольной сетке используется простая аппроксимация Лапласиана:
$$ \Delta \varphi_{i,j} \approx \frac{\varphi_{i+1,j} + \varphi_{i-1,j} + \varphi_{i,j+1} + \varphi_{i,j-1} - 4\varphi_{i,j}}{h^2}, $$
которая приводит к системе линейных уравнений. Метод Якоби, Гаусса-Зейделя, многосеточные алгоритмы и методы сопряжённых градиентов — стандартные техники решения.
Связь с моделированием турбулентности
Моделирование турбулентности требует на каждом временном шаге решения уравнения Пуассона для давления или других потенциальных величин. Это наиболее вычислительно затратная часть симуляций (например, в методе проекции для уравнений Навье — Стокса). Эффективные решатели уравнения Пуассона критичны для высокой производительности численного моделирования.