Уравнение Шрёдингера является краеугольным камнем квантовой механики. Оно описывает эволюцию квантового состояния системы. В наиболее общем виде, нестационарное уравнение Шрёдингера для частицы массы m в потенциальном поле V(r, t) имеет вид:
$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right] \psi(\mathbf{r}, t) $$
где:
Если потенциальная энергия не зависит от времени, V = V(r), решение можно искать в виде разделения переменных:
ψ(r, t) = ϕ(r)e−iEt/ℏ
Подстановка этого выражения в нестационарное уравнение приводит к стационарному уравнению Шрёдингера:
Ĥϕ(r) = Eϕ(r)
где гамильтониан $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r})$ действует на пространственную часть волновой функции.
Рассмотрим одномерную потенциальную яму бесконечной глубины: V(x) = 0 при 0 < x < L, и V(x) = ∞ вне этого интервала. Стационарное уравнение имеет вид:
$$ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\phi(x)}{dx^2} = E\phi(x), \quad 0 < x < L $$
граничные условия: ϕ(0) = ϕ(L) = 0. Решение:
$$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right), \quad E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \quad n=1,2,3,\dots $$
Энергетический спектр дискретен, а волновые функции ортонормированы.
Для потенциала вида:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & 0 \le x \le a \\ 0, & x > a \end{cases} $$
при E < V0 решения в области барьера экспоненциально затухающие. Тем не менее, вероятность прохождения через барьер отлична от нуля:
$$ T = \frac{1}{1 + \frac{V_0^2 \sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}}, \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} $$
Это иллюстрирует квантовый туннелирование, невозможное в классической физике.
Важнейший пример: квантовый одномерный гармонический осциллятор с потенциалом $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$. Уравнение Шрёдингера:
$$ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \phi(x) = E \phi(x) $$
Решение выражается через эрмитовы многочлены:
$$ \phi_n(x) = N_n e^{-m\omega x^2/2\hbar} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \quad E_n = \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right) $$
Спектр равномерно дискретен. Это модельный пример, применимый в квантовой оптике, теории поля и статистической физике.
1. Метод разделения переменных. Используется, когда гамильтониан допускает разделение переменных. Наиболее эффективен в задачах с симметрией: сферической, цилиндрической и др.
2. Метод возмущений. Подходит, когда гамильтониан можно представить в виде Ĥ = Ĥ0 + λV̂, где Ĥ0 — точно решаемая часть, λ ≪ 1. Решения ищутся в виде разложений по степеням λ.
3. Вариационный метод. Полезен для оценки основного состояния. Энергия оценивается как минимум функционала:
$$ E[\phi] = \frac{\langle \phi | \hat{H} | \phi \rangle}{\langle \phi | \phi \rangle} $$
4. Численные методы. Решение уравнения Шрёдингера на сетке с помощью конечных разностей, метод Рунге-Кутты, метод сеточного базиса (split-operator method) и др. особенно важны в многомерных системах.
Для частиц в пространстве ℝn гамильтониан записывается как:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} + V(\mathbf{x}) $$
Важной задачей является атом водорода: в сферических координатах с кулоновским потенциалом $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$, решение выражается через сферические гармоники и радиальные функции Лагерра:
$$ \psi_{n\ell m}(r, \theta, \varphi) = R_{n\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta, \varphi), \quad E_n = -\frac{me^4}{2\hbar^2 n^2} $$
Здесь возникает деградация уровней энергии, отражающая скрытую симметрию задачи.
В квантовой механике модуль волновой функции |ψ(r, t)|2 представляет собой плотность вероятности нахождения частицы. Операторные выражения, как ожидаемое значение наблюдаемой величины Â, записываются как:
⟨Â⟩ = ∫ψ*(r, t)Âψ(r, t) d3r
Свойства линейности и эрмитовости операторов обеспечивают реальность наблюдаемых величин и возможность ортогонализации состояний.
Если начальное состояние представляет собой волновой пакет:
ψ(x, 0) = ∫A(k)eikx dk
то при свободной эволюции (без потенциала) решение задаётся через преобразование Фурье:
$$ \psi(x, t) = \int A(k) e^{i(kx - \omega(k)t)} \, dk, \quad \omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2m} $$
Форма волнового пакета со временем изменяется — он расплывается, что является квантовым аналогом дисперсии.
Для волновой функции ψ(r, t) можно определить плотность вероятности ρ = |ψ|2 и ток вероятности:
$$ \mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) $$
Эти величины удовлетворяют уравнению непрерывности:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0 $$
что выражает закон сохранения полной вероятности.
Симметрия гамильтониана приводит к сохраняющимся величинам. Например:
Собственные значения соответствующих операторов становятся квантовыми числами, классифицирующими состояния.
Линейность уравнения Шрёдингера означает, что если ψ1 и ψ2 — решения, то ψ = c1ψ1 + c2ψ2 — тоже решение. Это приводит к интерференционным явлениям, отсутствующим в классической механике, и лежит в основе таких явлений, как квантовое расщепление, когерентность, запутанность состояний.