Уравнение теплопроводности и диффузии

Физическая природа диффузионных процессов

В основе теплопроводности и молекулярной диффузии лежат механизмы переноса – теплового или массопереноса – вызванные микроскопическими флуктуациями. В ламинарных средах перенос тепла описывается законом Фурье, а массоперенос — законом Фика. Однако в турбулентных потоках эти процессы радикально усложняются: к молекулярным механизмам добавляется мощный конвективный вклад, обусловленный вихревыми структурами и стохастическим перемешиванием.

Рассмотрим теплопроводность в несжимаемой жидкости. В стационарном виде классическое уравнение теплопроводности имеет вид:

$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T, $$

где T — температура, $\alpha = \frac{\kappa}{\rho c_p}$ — коэффициент температуропроводности, включающий теплопроводность κ, плотность ρ, и теплоёмкость c_p.

Аналогично, для концентрации примеси C в диффузионных процессах справедливо:

$$ \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C, $$

где D — коэффициент молекулярной диффузии.

Эти уравнения являются частными случаями обобщённого уравнения переноса, описывающего эволюцию скалярных величин под действием градиентного потока.

Воздействие турбулентности на диффузионные процессы

Турбулентность существенно усиливает перенос: перемешивание становится намного интенсивнее, чем в случае одного лишь молекулярного механизма. Это приводит к необходимости введения турбулентных коэффициентов диффузии и температуропроводности:

D_эфф = D + D_t, α_эфф = α + α_t,

где D_t, α_t — турбулентные добавки, отражающие влияние вихревых перемещений.

Для описания переноса в турбулентных течениях применяются осреднённые уравнения. Например, осреднение по Рейнольдсу уравнения теплопроводности даёт:

$$ \frac{\partial \langle T \rangle}{\partial t} + \langle \mathbf{v} \rangle \cdot \nabla \langle T \rangle = \nabla \cdot \left[ (\alpha + \alpha_t) \nabla \langle T \rangle \right], $$

где угловыми скобками обозначено статистическое осреднение, а α_t моделирует вклад корреляций между флуктуациями скорости и температуры: α_t ∼ −⟨v′T′⟩/∇⟨T⟩.

Роль статистических методов и замыкание уравнений

Ключевая трудность при работе с турбулентными уравнениями теплопроводности и диффузии — необходимость замыкания. При осреднении возникают корреляционные члены, такие как ⟨v_i′T′⟩, которые не выражаются напрямую через осреднённые поля. Это приводит к бесконечному иерархическому каскаду уравнений для статистических моментов.

Для преодоления этой проблемы применяются статистические модели и предположения:

Гипотеза градиентной диффузии (Eddy Diffusivity Hypothesis):

$$ \langle v_i' T' \rangle = -\alpha_t \frac{\partial \langle T \rangle}{\partial x_i}, $$

где α_t — турбулентная температуропроводность, оцениваемая из моделей турбулентности, например, k-ε или LES.
Модель Прандтля: Связывает турбулентную вязкость и температуропроводность через безразмерное число Прандтля:

$$ \text{Pr}_t = \frac{\nu_t}{\alpha_t}, $$

где ν_t — турбулентная вязкость. В большинстве моделей Pr_t ∼ 0.7 ÷ 0.9 для газов.
Метод Монте-Карло и стохастических траекторий: Позволяет моделировать перенос скаляров в турбулентной среде как случайное блуждание частиц. Этот подход основан на стохастическом представлении уравнения переноса в виде уравнений типа Ланжевена:

$$ dX_i = U_i dt + \sqrt{2 D_t} dW_i(t), $$

где W_i(t) — винеровский процесс.

Спектральный подход к описанию турбулентной диффузии

Для анализа масштабных свойств турбулентного переноса скаляров широко применяется спектральный метод. Рассматривается энергетический спектр турбулентности E(k), описывающий распределение кинетической энергии по волновым числам.

Аналогично, для пассивного скаляра T вводится скалярный спектр Θ(k), удовлетворяющий уравнению типа:

$$ \frac{\partial \Theta(k, t)}{\partial t} = T(k) - 2 \alpha k^2 \Theta(k), $$

где T(k) — нелинейный перенос энергии по спектру. В инерционном диапазоне наблюдается так называемое спектральное подобие, установленное Обуховым и Корсаковым:

Θ(k) ∼ ε_T^1/3k^−5/3,

где ε_T — диссипация скалярной дисперсии.

Таким образом, спектральный анализ даёт мощный инструмент для количественного описания скалярного перемешивания и оценки турбулентной диффузии.

Уравнение адвеции-диффузии с турбулентными поправками

В обобщённой форме, учитывающей турбулентный транспорт, уравнение для пассивного скаляра имеет вид:

$$ \frac{\partial \langle \phi \rangle}{\partial t} + \langle \mathbf{v} \rangle \cdot \nabla \langle \phi \rangle = \nabla \cdot \left[ (D + D_t) \nabla \langle \phi \rangle \right] + Q, $$

где ϕ — скалярное поле (температура, концентрация, энтропия и т.д.), Q — источник/сток. Это уравнение лежит в основе моделирования атмосферных и океанографических процессов, пламен в реактивных двигателях, микромасштабного перемешивания в биофизике и других дисциплинах.

Лагранжев подход: траекторный анализ переноса

Лагранжевы методы дополняют Эйлеровское описание: анализ траекторий частиц позволяет лучше понять структуру перемешивания в турбулентных полях. Среднеквадратичное смещение частицы даёт информацию о характере диффузии:

⟨Δx²(t)⟩ ∼ t^γ,

где:

γ = 1: нормальная (Фиковская) диффузия,
γ > 1: супердиффузия (характерна для турбулентности),
γ < 1: субдиффузия (например, в пористых средах).

Такие подходы, в сочетании с моделью случайного блуждания, позволяют строить реалистичные численные алгоритмы моделирования турбулентного перемешивания.

Применение в численных методах

В контексте численного моделирования теплопроводности и диффузии в турбулентных режимах используются различные методы:

RANS-модели (Reynolds-Averaged Navier–Stokes): Для инженерных задач часто применяются осреднённые уравнения с замыкающими моделями k-ε, k-ω, с соответствующими параметризациями турбулентной диффузии.
LES (Large Eddy Simulation): Осуществляется разрешение крупномасштабных вихрей, а мелкомасштабные флуктуации моделируются с использованием субсеточных моделей, таких как модель Смогоринского.
DNS (Direct Numerical Simulation): Полное численное решение без моделей, применяется только для низких чисел Рейнольдса из-за высокой вычислительной стоимости. Даёт эталонные данные для валидации моделей.

Анизотропия и неоднородность турбулентной диффузии

В реальных течениях, особенно вблизи стенок и границ, турбулентность становится анизотропной. Соответственно, и турбулентная диффузия теряет скалярный характер и требует описания тензором:

$$ \langle v_i' \phi' \rangle = -D_{ij} \frac{\partial \langle \phi \rangle}{\partial x_j}, $$

где D_ij — тензор турбулентной диффузии, который может существенно отличаться в продольных и поперечных направлениях. Внутри пограничного слоя, например, вертикальный перенос часто сильно подавлен.

Влияние турбулентности на тепломассоперенос в многофазных и реактивных средах

Особую сложность представляет моделирование турбулентной теплопроводности и диффузии в реакционно-активных и многофазных средах, где взаимодействуют газ, жидкость и/или твердая фаза. Здесь добавляются эффекты:

Латентного тепла фазовых переходов,
Химических реакций, влияющих на температуру и состав,
Неравномерности распределения фаз (кластеризация частиц, пузырей и капель).

Для таких систем применяются совмещённые модели, объединяющие Рейнольдсово осреднение с реакционной кинетикой и фазовыми балансами.

Связь с основными уравнениями математической физики

Уравнение теплопроводности и диффузии входит в число фундаментальных уравнений математической физики. Оно связано с уравнением Навье–Стокса через энергетический баланс, а с уравнениями Максвелла – при моделировании теплового излучения и плазменных сред. В стохастических подходах оно приводит к уравнениям типа Фоккера–Планка и колмогоровским уравнениям второго рода, открывая путь к более глубокой интерпретации турбулентного переноса как случайного процесса.