Пусть физическая система описывается функционалом действия:
S = ∫t1t2L(qi, q̇i, t) dt,
где qi(t) — обобщённые координаты, $\dot{q}^i(t) = \frac{dq^i}{dt}$, а L — лагранжиан системы. Требуя стационарности действия δS = 0 при вариациях δqi(t), получаем уравнения Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0. $$
В контексте гидродинамики и турбулентности эти уравнения позволяют формулировать уравнения движения для континуума, включая идеальную и вязкую жидкость.
Для безвихревой идеальной жидкости лагранжиан можно записать как:
$$ L = \int \left( \frac{1}{2} \rho |\vec{v}|^2 - \rho \varepsilon(\rho, s) \right) \, d^3x, $$
где ρ — плотность, v⃗ — скорость жидкости, ε — удельная внутренняя энергия, зависящая от плотности и энтропии s. Вариационное выведение уравнений движения по переменным v⃗, ρ, s приводит к классическим уравнениям Эйлера:
$$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p, \qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0, \qquad \frac{ds}{dt} = 0. $$
Таким образом, уравнения Эйлера–Лагранжа применимы не только в механике частиц, но и в гидродинамике непрерывных сред.
В контексте турбулентности, где движение жидкости характеризуется сложными вихревыми структурами, принцип наименьшего действия остаётся применимым, но его реализация становится нетривиальной. В частности, необходимо учитывать вклад вихрей через представление в лагранжиане дополнительных степеней свободы, описывающих вихревое движение. Это приводит к необходимости перехода от лагранжиана на пространстве конфигураций к лагранжиану на пространстве функций, например, потока v⃗(x⃗, t), как поля.
Для инвариантной вариационной постановки можно ввести лагранжиан с учётом лагранжевой метки a⃗ и соответствующей позиции частицы x⃗(a⃗, t). Тогда уравнения Эйлера–Лагранжа на бесконечномерном пространстве функций ведут к гидродинамическим уравнениям.
Переход от идеальной жидкости к вязкой осуществляется добавлением диссипативных членов, что нарушает строгую применимость вариационного принципа. Однако для стационарных решений или усреднённых статистических характеристик вариационные методы могут быть использованы.
Уравнение Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec{v}, $$
в полной мере описывает вязкое течение. В статистической теории турбулентности интерес представляет не столько само уравнение, сколько его статистические усреднения. Вводятся функции корреляции:
Rij(r⃗, t) = ⟨vi(x⃗, t)vj(x⃗ + r⃗, t)⟩,
которые удовлетворяют уравнениям, получаемым из уравнений движения при помощи статистических методов (например, уравнения Колмогорова).
Чтобы связать эти статистические методы с уравнениями Эйлера–Лагранжа, можно использовать метод Морисон–Грина, в котором статистически усреднённая динамика выводится из действия, зависящего от корреляционных функций. В таком подходе лагранжиан переписывается в терминах этих функций, а затем варьируется.
Для описания турбулентности в статистическом смысле полезен переход к функциональному лагранжиану ℒ[v⃗], зависящему от поля скоростей. Применение формализма Жубера–Мартина–Сиггии–Роуза (JMSR) даёт основу для построения функционала действия:
$$ S[\vec{v}, \hat{\vec{v}}] = \int d^3x \, dt \left[ \hat{v}_i \left( \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} - \nu \nabla^2 v_i \right) - \frac{D}{2} \hat{v}_i^2 \right], $$
где $\hat{\vec{v}}$ — отклик-поле, а D — интенсивность флуктуаций (например, внешней силы). Варьируя этот функционал, можно получить уравнения на средние поля и корреляционные функции, аналогичные уравнениям Эйлера–Лагранжа.
Этот подход обобщает принцип наименьшего действия на стохастические и флуктуирующие системы, давая возможность использовать теоретико-полевые методы в анализе турбулентности.
Уравнения Эйлера идеальной жидкости могут быть интерпретированы как уравнения геодезических на группе диффеоморфизмов с метрикой, индуцированной кинетической энергией. Эта точка зрения, разработанная Арнольдом, позволяет трактовать движение жидкости как инерционное движение по многообразию конфигураций.
В этом подходе лагранжиан записывается через метрику:
$$ L = \frac{1}{2} \int \rho \, \vec{v} \cdot \vec{v} \, d^3x, $$
а уравнения Эйлера–Лагранжа формулируются как уравнения геодезических с соответствующей ковариантной производной. Это открывает путь к применению методов дифференциальной геометрии и тензорного анализа в анализе турбулентности и устойчивости потоков.
В практике турбулентности часто используются модели редуцированной динамики (например, модели галеркинской аппроксимации), где поле скоростей v⃗ раскладывается по конечному числу базисных функций:
$$ \vec{v}(\vec{x}, t) = \sum_{n=1}^N a_n(t) \vec{\phi}_n(\vec{x}). $$
Подстановка в лагранжиан и применение уравнений Эйлера–Лагранжа к коэффициентам an(t) приводит к системе ОДУ, сохраняющей вариационную структуру исходной задачи. Такие подходы широко применяются в численном моделировании турбулентности, включая LES (Large Eddy Simulation) и POD (Proper Orthogonal Decomposition).
В статистической теории турбулентности центральным является механизм энергетического каскада — переноса энергии от больших масштабов к малым. В лагранжевой картине движения жидкости этот процесс можно отследить по траекториям частиц. Плотность лагранжевой кинетической энергии на единицу массы определяется как:
$$ E_L(t) = \left\langle \frac{1}{2} |\vec{v}(\vec{X}(t))|^2 \right\rangle, $$
где X⃗(t) — траектория частицы. Изменения EL(t) описываются стохастическим уравнением, вытекающим из лагранжевой версии уравнений Эйлера–Лагранжа, дополненных случайными возмущениями. Это соединяет лагранжев формализм с концепцией стохастического моделирования турбулентности.
Использование уравнений Эйлера–Лагранжа в расширенной фазовой области с введением сопряжённых переменных (например, в формализме Гамильтона) позволяет выявлять скрытые симметрии и интегралы движения. В случае турбулентности это может применяться к усреднённым полям, где сохраняются определённые инварианты, например:
Симметрии лагранжиана (например, трансляционная, вращательная, масштабная) через теорему Нётер приводят к законам сохранения, применимым и в турбулентных потоках, особенно в их статистической интерпретации.