Турбулентный режим течения — сложный, многомасштабный, стохастический процесс, не поддающийся детерминированному описанию в терминах классических уравнений Навье–Стокса в их полной форме. Это обусловливает необходимость перехода к статистическому подходу, в рамках которого изучаются усреднённые характеристики потока, такие как средняя скорость, флуктуации, корреляции и спектры энергии.
Пусть вектор скорости в турбулентном потоке v⃗(x⃗, t) представлен как сумма средней и флуктуирующей составляющих:
v⃗(x⃗, t) = ⟨v⃗(x⃗, t)⟩ + v⃗′(x⃗, t),
где угловые скобки ⟨⋅⟩ обозначают усреднение по ансамблю или по времени.
Подставляя этот разложение в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получают уравнение Рейнольдса, содержащее дополнительные члены — тензор Рейнольдса, описывающий влияние турбулентных флуктуаций:
$$ \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial t} + \langle v_j \rangle \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \Delta \langle v_i \rangle - \frac{\partial \langle v_i' v_j' \rangle}{\partial x_j}. $$
Таким образом, появляется задача замыкания уравнений, поскольку тензор ⟨vi′vj′⟩ требует дополнительного моделирования.
Одним из центральных статистических объектов в турбулентности является двухточечная корреляционная функция скоростей:
Rij(r⃗, t) = ⟨vi(x⃗, t)vj(x⃗ + r⃗, t)⟩.
Для однородной и изотропной турбулентности функция Rij зависит только от расстояния r = |r⃗|. Переход к спектральному представлению осуществляется с помощью преобразования Фурье, приводящего к энергетическому спектру E(k), описывающему распределение кинетической энергии по волновым числам:
$$ \int_0^{\infty} E(k) \, dk = \frac{1}{2} \langle v_i v_i \rangle. $$
В инерциальной области спектра, по теории Колмогорова, справедливо масштабное поведение:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации турбулентной энергии. Этот спектр наблюдается в широком диапазоне масштабов и подтверждается многочисленными экспериментами.
Фундаментальный результат теории Колмогорова — уравнение для третьего порядка:
$$ \langle [\delta v_L(r)]^3 \rangle = -\frac{4}{5} \varepsilon r, $$
где δvL(r) — продольная приращение скорости на расстоянии r. Это соотношение не требует аппроксимаций и следует из фундаментальных законов сохранения и гипотез однородности и изотропии.
Чтобы замкнуть уравнения, используют различные модели, например:
Модель Эдди-Вискозности: предполагается, что тензор Рейнольдса можно представить аналогично молекулярной вязкости:
$$ \langle v_i' v_j' \rangle \sim \nu_T \left( \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle v_j \rangle}{\partial x_i} \right), $$
где νT — турбулентная вязкость.
Подход Краичнана: вводится модель стохастического поля скоростей, заданного гауссовским процессом с заданной корреляцией. Это позволяет построить аналитические теории переноса пассивных скаляров и изучать инерциальный диапазон.
На высоких Рейнольдсах наблюдается отклонение от гауссовской статистики. Распределения приращений скоростей становятся сильно асимметричными и имеют тяжелые хвосты, что свидетельствует о интермиттенции — спорадических всплесках диссипации энергии в малых масштабах. Для описания этого явления развиты мультифрактальные модели, в которых энергия распределяется по множеству вложенных фрактальных структур с различной размерностью.
В общей теории относительности гравитация рассматривается как искривление пространства-времени. Основным уравнением, связывающим геометрию и материю, является уравнение Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$ — тензор Эйнштейна, Rμν — тензор Риччи, R — скаляр кривизны, Tμν — тензор энергии-импульса, Λ — космологическая постоянная.
Эти уравнения представляют собой 10 нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка для метрики gμν, описывающей структуру пространства-времени.
Космологический принцип постулирует однородность и изотропию Вселенной в больших масштабах. В рамках этого допущения метрика принимает вид Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW):
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, k = 0, ±1 — параметр кривизны.
Подстановка этой метрики в уравнения Эйнштейна приводит к уравнениям Фридмана:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 + \frac{kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G}{3} \rho + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$
Эти уравнения описывают динамику расширения (или сжатия) Вселенной и зависят от плотности материи ρ, давления p и космологической постоянной.
В зависимости от уравнения состояния материи (p = wρc2), получают различные решения:
Последний случай описывает инфляционную эпоху ранней Вселенной и позднюю фазу ускоренного расширения, наблюдаемую сегодня.
Для вакуумного случая (Tμν = 0), уравнения Эйнштейна принимают вид:
Rμν = Λgμν.
Известны следующие точные решения:
В частности, пространство де Ситтера описывает инфляционный этап с экспоненциальным расширением:
$$ a(t) = a_0 \, e^{Ht}, \quad H = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}}. $$
При отказе от предположения изотропии возникают более сложные космологические модели, например метрика Бьянки IX, описывающая вселенные, в которых геометрия претерпевает хаотические колебания (поведение Белинского–Халатникова–Лифшица). Эти модели актуальны при рассмотрении ранней Вселенной, близкой к сингулярности, где возможна существенная роль квантовых эффектов.
На больших масштабах космологические решения уравнений Эйнштейна описывают классическую эволюцию Вселенной. Однако при переходе к планковским масштабам необходимо учитывать квантово-полевые эффекты, включая флуктуации метрики. Это приводит к необходимости квантования гравитации и рассмотрению таких подходов, как каноническая квантовая гравитация, петлевая гравитация и теория струн.
Одним из следствий является возможность описания начала Вселенной как квантового туннелирования из “ничего” (подход Хартла–Хокинга), что связано с вероятностным описанием космологических решений.