Уравнения в частных производных второго порядка классифицируются на эллиптические, параболические и гиперболические в зависимости от характеристик главной части уравнения. Пусть общее уравнение второго порядка имеет вид:
$$ A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{(нижние производные)} = 0, $$
где дискриминант D = B2 − AC определяет тип уравнения:
Гиперболические уравнения описывают распространение возмущений с конечной скоростью, характерны для волновых процессов. Простейший пример — одномерное волновое уравнение:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. $$
Такого рода уравнения характеризуются наличием характеристик — кривых, вдоль которых информация распространяется.
В турбулентной гидродинамике уравнения гиперболического типа появляются в связи с моделированием звуковых волн, ударных волн, а также как приближения для транспортных процессов. Однако турбулентность — существенно нелинейное и хаотическое явление, и простые линейные гиперболические уравнения не способны описывать ее поведение полностью. Тем не менее, в рамках осреднённой теории и подходов к статистическому описанию турбулентности гиперболические уравнения выступают в роли базовых моделей.
Примером может служить уравнение Эйлера в форме:
$$ \begin{aligned} &\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, \\ &\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v} + p\mathbf{I}) = 0, \\ &\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot [(E + p)\mathbf{v}] = 0, \end{aligned} $$
где ρ — плотность, v — скорость, p — давление, E — полная энергия. Эти уравнения являются гиперболическими, и они описывают идеальную несжимаемую или сжимаемую среду без вязкости. В турбулентных режимах данные уравнения дополняются моделями вихрей и вязкости.
В турбулентности основной задачей является получение осреднённых уравнений для статистических величин. Применение осреднения Рейнольдса к уравнениям Навье–Стокса приводит к системе:
$$ \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \overline{u_i' u_j'}}{\partial x_j}, $$
где $\overline{u_i}$ — средняя скорость, а тензор Рейнольдса $\overline{u_i' u_j'}$ — вторые моменты флуктуаций скорости. Эти уравнения не являются строго гиперболическими, но при анализе возмущений или упрощённых моделей, например в акустике, гиперболические приближения применимы.
Одним из подходов к статистической теории турбулентности является изучение двухточечной корреляционной функции скорости:
$$ R_{ij}(\mathbf{r}, t) = \overline{u_i(\mathbf{x}, t) u_j(\mathbf{x} + \mathbf{r}, t)}. $$
Для этой функции можно вывести уравнение эволюции из уравнений Навье–Стокса. В однородных и изотропных условиях это уравнение имеет гиперболический характер. Например, в приближении линейного распространения корреляций вдоль направлений характеристик волнового уравнения можно записать:
$$ \frac{\partial^2 R}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 R = F(R, \nabla R, ...), $$
где правая часть содержит нелинейные и вязкостные поправки. Таким образом, распространение корреляций в турбулентном поле частично подчиняется гиперболическим законам.
Важнейшей особенностью гиперболических уравнений является существование характеристик, по которым распространяется информация. В контексте турбулентности это проявляется в распространении волн давления, звуковых фронтов, а также в анализе взаимодействия ударных волн с вихрями.
В частности, при численном моделировании сжимаемой турбулентности (например, в задачах аэродинамики на больших скоростях) требуется разрешать характеристики системы уравнений Эйлера. Распространение фронтов, нестабильностей и взаимодействие нелинейных волн требует точного учёта гиперболической природы уравнений.
Для численного моделирования турбулентных течений часто используются модификации гиперболических уравнений с добавлением диффузионных членов (например, системы Навье–Стокса) или введением дополнительных переменных (например, модели турбулентности типа k − ε).
Некоторые модели используют релаксационные гиперболические системы, такие как система Маккормака или метод Квика, где временные производные аппроксимируют диффузионные и конвективные эффекты. Это позволяет избежать строгой стационарной гипотезы и получить более устойчивые численные схемы.
Наблюдаемые в эксперименте и численных симуляциях феномены — всплески энергии, интермиттенция, вихревые пятна — могут быть описаны с привлечением понятий, близких гиперболической динамике. Например, квазисолитонные структуры в турбулентности распространяются как фронты, обладающие характеристиками гиперболических волн.
Кроме того, при анализе больших отклонений и флуктуаций в турбулентном потоке (например, при редких, но сильных выбросах энергии) применяются стохастические версии гиперболических уравнений, в которых коэффициенты и правые части имеют случайную природу.
Применение преобразования Фурье к линейным гиперболическим уравнениям приводит к волновым спектрам. В турбулентности, особенно в энергетическом каскаде, спектральный анализ играет ключевую роль. Простейшая линейная теория для акустических флуктуаций приводит к дисперсионному соотношению:
ω2 = c2k2,
что является классическим результатом для гиперболических уравнений. Аналогичные подходы применяются и в турбулентной акустике, когда исследуются шумы, порождаемые турбулентными структурами.
Таким образом, гиперболические уравнения и соответствующие методы анализа являются фундаментальным компонентом как в описании отдельных аспектов турбулентности, так и в построении численных и аналитических моделей. В частности, они незаменимы при изучении динамики давления, акустических взаимодействий, корреляционных зависимостей и флуктуационных процессов в турбулентной среде.