Уравнения Максвелла в дифференциальной форме выражают фундаментальные законы электродинамики, связывая электрическое и магнитное поля с плотностями зарядов и токов. Они имеют следующий вид:
Закон Гаусса для электрического поля
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
где ρ — объемная плотность электрического заряда.
Закон Гаусса для магнитного поля
∇ ⋅ B = 0
что выражает отсутствие магнитных монополей.
Закон Фарадея
$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
отражает явление электромагнитной индукции.
Обобщённый закон Ампера (с поправкой Максвелла)
$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$
Эти уравнения устанавливают локальные связи между полями и источниками в каждой точке пространства-времени.
Переход к интегральной форме осуществляется с использованием теорем Гаусса и Стокса. Интегральные формы уравнений Максвелла:
Электрический поток через замкнутую поверхность:
$$ \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \, dV $$
Магнитный поток через замкнутую поверхность:
∮∂VB ⋅ dS = 0
ЭДС по замкнутому контуру:
$$ \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} $$
Закон Ампера–Максвелла:
$$ \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $$
Интегральная форма часто применяется при рассмотрении задач с высокой симметрией и позволяет напрямую использовать граничные условия.
Для объединения электрических и магнитных полей в единую структуру в рамках специальной теории относительности используется электромагнитный тензор Fμν:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} $$
Ковариантная форма уравнений Максвелла:
Первое уравнение:
∂μFμν = μ0Jν
где Jν = (ρc, J) — четырёхмерный ток.
Второе уравнение (тождество Бьянки):
∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0
Эта формулировка подчёркивает симметрию теории и её согласованность с преобразованиями Лоренца.
Электромагнитное поле можно выразить через потенциалы:
Соотношения:
$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}, \quad \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$
Уравнения Максвелла можно переписать как уравнения на потенциалы при выборе калибровки (например, калибровка Лоренца: $\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$):
$$ \Box \phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J} $$
где $\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}$ — оператор д’Аламбера.
Эта формулировка особенно удобна в квантовой электродинамике и при использовании лагранжевых методов.
Лагранжиан для вакуумной электродинамики:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu $$
Используя принцип наименьшего действия и варьируя действие по четырёхпотенциалу Aμ, восстанавливаются уравнения Максвелла.
Такой подход универсален и может быть расширен для взаимодействия с другими полями, включая калибровочные теории и обобщённые модели с нелинейными эффектами.
При наличии стохастических токов или в плазменной среде, где наблюдаются флуктуации полей, уравнения Максвелла становятся случайными уравнениями. Для анализа таких ситуаций используются:
Функции корреляции полей:
⟨Ei(r, t)Ej(r′, t′)⟩, ⟨Bi(r, t)Bj(r′, t′)⟩
Спектры флуктуаций через преобразование Фурье.
Кинетические уравнения типа уравнения Власова или уравнения Больцмана с самосогласованными полями.
Уравнение Янга–Милса в нелинейных средах, обобщающее уравнения Максвелла на случай калибровочных полей с нелинейной динамикой.
В плазменной физике электромагнитная турбулентность — один из ключевых факторов переноса импульса и энергии. Для её описания:
Используются усреднённые уравнения Максвелла с учетом флуктуационных добавок:
$$ \mathbf{E} = \overline{\mathbf{E}} + \mathbf{E}', \quad \mathbf{B} = \overline{\mathbf{B}} + \mathbf{B}' $$
Возникают уравнения Рейнольдса для электромагнитных напряжений:
$$ \overline{\mathbf{E} \times \mathbf{B}} = \overline{\mathbf{E}} \times \overline{\mathbf{B}} + \overline{\mathbf{E}' \times \mathbf{B}'} $$
Анализ проводится в терминах спектров турбулентности, например, в форме энергетических спектров магнитного поля.
Применяются методы группы ренормализации и кластерного разложения, позволяющие описывать мультифрактальную структуру флуктуаций.
Для решения уравнений Максвелла в турбулентных и сложных геометриях используются:
Эти методы требуют реализации устойчивых схем дискретизации и могут быть объединены с моделированием турбулентности (например, LES или DNS).