Турбулентность и статистические методы
Гидродинамическое описание турбулентных течений основывается на уравнениях Навье–Стокса:
$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}, $$
∇ ⋅ u = 0,
где u — поле скоростей, p — давление, ν — кинематическая вязкость, ρ — плотность, f — внешние силы.
При высоких числах Рейнольдса поведение решений становится крайне чувствительным к начальным условиям и внешним возмущениям. Таким образом, система уравнений приобретает стохастический характер. Следовательно, анализ должен вестись в терминах статистических средних.
Введём разложение полей:
u = ⟨u⟩ + u′, p = ⟨p⟩ + p′,
где ⟨⋅⟩ — статистическое усреднение, а штрихованные величины — флуктуации.
Подставляя в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнение для среднего поля:
$$ \frac{\partial \langle \mathbf{u} \rangle}{\partial t} + \left( \langle \mathbf{u} \rangle \cdot \nabla \right)\langle \mathbf{u} \rangle = -\frac{1}{\rho}\nabla \langle p \rangle + \nu \nabla^2 \langle \mathbf{u} \rangle - \nabla \cdot \langle \mathbf{u}' \mathbf{u}' \rangle + \langle \mathbf{f} \rangle. $$
Тензор ⟨u′u′⟩ называется тензором Рейнольдсовых напряжений. Его влияние — основное проявление турбулентности на макроскопическом уровне.
Уравнение для среднего поля содержит неизвестный тензор второго порядка ⟨u′u′⟩, требующий дополнительного описания. Эта проблема известна как проблема замыкания.
Среди приближённых моделей:
Гипотеза Буссинеска: тензор Рейнольдса пропорционален тензору деформаций:
$$ \langle u'_i u'_j \rangle = - \nu_t \left( \frac{\partial \langle u_i \rangle}{\partial x_j} + \frac{\partial \langle u_j \rangle}{\partial x_i} \right) + \frac{2}{3}k \delta_{ij}, $$
где νt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \langle \mathbf{u}' \cdot \mathbf{u}' \rangle$ — турбулентная кинетическая энергия.
k–ε модель: система дифференциальных уравнений для k и скорости диссипации энергии ε.
k–ω модель, LES, DNS и др.
В условиях однородности и изотропии, удобно рассматривать турбулентные поля в спектральном представлении. Величайший вклад в изучение такого подхода внёс А.Н. Колмогоров.
Вводится энергетический спектр E(k), определяющий, как распределена кинетическая энергия по волновым числам:
$$ \int_0^\infty E(k) \, dk = \frac{1}{2} \langle \mathbf{u}' \cdot \mathbf{u}' \rangle. $$
В инерциальном диапазоне (между масштабами возбуждения и вязкой диссипации) реализуется универсальный закон Колмогорова:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
где ε — средняя скорость диссипации энергии на единицу массы.
Ключевыми объектами в статистической теории турбулентности являются:
Автокорреляционные функции:
Rij(r) = ⟨ui(x)uj(x + r)⟩,
Структурные функции порядка n:
Sn(r) = ⟨[u(x + r) − u(x)]n⟩.
Для однородной, изотропной турбулентности второй порядок S2(r) ∼ r2/3 в инерциальном диапазоне.
Наблюдаемые отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова связаны с интермиттенцией — неравномерным распределением диссипации энергии в пространстве и времени. Это приводит к нелинейной зависимости логарифма Sn(r) от log r, отличной от линейной n/3.
Для более точного описания строятся многофрактальные модели, связывающие статистику флуктуаций с фрактальной структурой областей диссипации.
Вариационные принципы в теории поля
Вариационный принцип формулируется как требование экстремальности действия:
δS = 0, S = ∫ℒ(ϕ, ∂μϕ, xμ) d4x,
где ϕ — поле, ℒ — лагранжиан. Уравнения движения выводятся из уравнений Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0. $$
Скалярное поле:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - V(\phi). $$
Максвеллово электромагнитное поле:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu. $$
Дираковское поле:
ℒ = ψ̄(iγμ∂μ − m)ψ.
В каждом случае варьирование приводит к уравнениям Клейна–Гордона, Максвелла, Дирака соответственно.
Если лагранжиан инвариантен при непрерывной группе преобразований, существует закон сохранения. Это утверждает теорема Нётер:
$$ \delta \mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu \quad \Rightarrow \quad \partial_\mu J^\mu = 0, \quad J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi - K^\mu. $$
Примеры:
Переход к гамильтоновому описанию осуществляется введением канонических переменных:
$$ \pi(x) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0 \phi)}. $$
Определяется гамильтониан:
ℋ = π∂0ϕ − ℒ.
Динамика полей описывается уравнениями Гамильтона:
$$ \partial_0 \phi = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \pi}, \quad \partial_0 \pi = -\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \phi}. $$
Этот формализм особенно важен для квантования полей, так как позволяет ввести канонические коммутационные соотношения.
Вариационные принципы адаптируются к системам с ограничениями (например, в теории калибровки). Метод Лагранжа–Дирака позволяет построить консистентную динамику в таких случаях. Также вариационные принципы формулируются в терминах дифференциальной геометрии:
Теория гравитации: действие Эйнштейна–Гильберта,
$$ S = \int R \sqrt{-g} \, d^4x, $$
где R — скаляр кривизны, g — детерминант метрического тензора.
Теории Янга–Миллса: лагранжиан вида ℒ ∼ Tr (FμνFμν), где Fμν — тензор кривизны на расслоении.
Современные обобщения классического гамильтонова формализма включают многосимплектический подход, в котором время и пространство рассматриваются на равных основаниях. Это особенно полезно в геометрической квантовой теории поля и при работе с системами с несколькими временными направлениями.
В этих формализмах ключевым объектом становится многомерная аналогия симплектической формы, определяющая инвариантные свойства поля и его вариаций.