Турбулентность представляет собой сложное, хаотическое поведение движения жидкости или газа, где традиционные методы описания поля скоростей и давления оказываются недостаточными. Для строгого математического описания турбулентных процессов необходим аппарат векторного анализа, который позволяет оперировать с векторными величинами, распределёнными в пространстве и времени. Особенно важны следующие операции: градиент, дивергенция, ротор, лапласиан, а также тождественные соотношения между ними.
Если задано скалярное поле давления p(r, t), его градиент:
$$ \nabla p = \left( \frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}, \frac{\partial p}{\partial z} \right) $$
указывает направление наибольшего увеличения давления и используется, в частности, в уравнении Навье–Стокса для выражения силового воздействия давления на элемент объёма. Градиент играет критическую роль в формулировке уравнений импульса, где появляется в виде −∇p/ρ, действующей на вектор скорости.
Пусть v(r, t) — векторное поле скорости жидкости. Его дивергенция:
$$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} $$
определяет локальное изменение объема. В условиях несжимаемости жидкости, характерных для развитой турбулентности при малых числах Маха, выполняется:
∇ ⋅ v = 0
Это приводит к существенному упрощению уравнений движения и позволяет применять особые математические методы, такие как гельмгольцово разложение полей.
Ротор векторного поля:
$$ \nabla \times \mathbf{v} = \left( \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z},\ \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x},\ \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \right) $$
характеризует локальное вращение жидкости и используется для определения вихревого характера потока. В турбулентности поле ротора представляет собой сложную структуру вложенных вихрей различных масштабов. Вектор вихревости ω = ∇ × v является центральным объектом в анализе каскадов энергии.
Из-за хаотичности турбулентных течений невозможно точно описывать каждую реализацию поля. Поэтому применяется статистическое описание, в котором поля усредняются по ансамблю или времени, и анализируются их моменты.
Пусть v = ⟨v⟩ + v′, где ⟨v⟩ — среднее значение скорости, а v′ — флуктуации. Тогда при усреднении уравнений Навье–Стокса получаем:
$$ \frac{\partial \langle \mathbf{v} \rangle}{\partial t} + \langle \mathbf{v} \rangle \cdot \nabla \langle \mathbf{v} \rangle = -\frac{1}{\rho} \nabla \langle p \rangle + \nu \nabla^2 \langle \mathbf{v} \rangle - \nabla \cdot \langle \mathbf{v}' \otimes \mathbf{v}' \rangle $$
Последний член представляет собой тензор Рейнольдсовых напряжений и отвечает за вклад турбулентных флуктуаций в уравнение среднего движения. Он требует моделирования.
Для статистического анализа используются функции корреляции второго порядка:
Rij(r, ξ) = ⟨vi(r)vj(r + ξ)⟩
Эти функции описывают пространственную структуру флуктуаций и позволяют вводить спектральную плотность энергии через преобразование Фурье.
Функция E(k), спектральная плотность энергии по волновому числу k, определяется как:
$$ \int_0^\infty E(k)\, dk = \frac{1}{2} \langle |\mathbf{v}'|^2 \rangle $$
В развитой турбулентности наблюдается инерционный интервал, в котором:
E(k) ∼ k−5/3
Это результат теории Колмогорова, которая основывается на гипотезе самоподобия и локального переноса энергии от крупных вихрей к мелким без потерь.
Интегральное представление дивергенции:
∫V∇ ⋅ v dV = ∮∂Vv ⋅ dS
Применяется для вывода уравнения непрерывности и анализа потока жидкости через границу области.
Интегральное представление ротора:
∮∂Sv ⋅ dℓ = ∫S(∇ × v) ⋅ dS
Ключевая формула для анализа циркуляции и вихрей, особенно в формулировке теоремы Кельвина о сохранении циркуляции в идеальной несжимаемой жидкости.
Турбулентные напряжения описываются тензором второго ранга:
τij = −ρ⟨vi′vj′⟩
Для его замыкания используются модели, например, гипотеза Буссинеска:
$$ \tau_{ij} = 2 \mu_t S_{ij} - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij} $$
где μt — турбулентная вязкость, Sij — тензор среднего деформационного сдвига, $k = \frac{1}{2} \langle v_i' v_i' \rangle$ — турбулентная кинетическая энергия.
Уравнения движения в турбулентной среде можно записывать с использованием векторных операторов. Так, для несжимаемой среды:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v} $$
где ∇2v обозначает лапласиан векторного поля. Это уравнение в нелинейной форме содержит существенные трудности при анализе турбулентности, требуя привлечение численных методов (DNS, LES) и статистических подходов.
По теореме Гельмгольца, любое векторное поле, быстро убывающее на бесконечности и с непрерывными производными, может быть разложено:
v = −∇ϕ + ∇ × A
где ϕ — скалярный потенциал, A — векторный потенциал. В условиях несжимаемости, ϕ можно исключить, а анализ вихревой компоненты использовать для описания турбулентных каскадов.
Для анализа турбулентных пульсаций используются обобщённые функции (в частности, δ-функция Дирака), позволяющие строго формулировать условия локальности и корреляций. Методы теории поля находят применение в стохастических моделях турбулентности, таких как функциональный интеграл по случайным полям скоростей, и при выводе замкнутых уравнений для статистических моментов.
Фундаментальные симметрии уравнений (изотропия, однородность, инвариантность по сдвигу и вращению) позволяют классифицировать возможные типы турбулентных решений и строить модели на основе групповых соображений. Особенно важны инварианты, такие как:
При статистическом усреднении сохраняются ключевые физические величины:
Они составляют основу построения многоуровневых моделей турбулентности и служат краеугольным камнем при численном моделировании (например, в RANS, LES, DNS).