Вейвлет-преобразования в физике

Турбулентность и статистические методы

Спектральное представление турбулентности

Описание турбулентного течения невозможно без перехода от детерминированных уравнений Навье–Стокса к статистическим описаниям, в которых используются средние поля и их корреляции. Фундаментальной основой является представление скорости в виде:

v⃗(x⃗, t) = ⟨v⃗(x⃗, t)⟩ + v⃗′(x⃗, t),

где ⟨v⃗⟩ — среднее поле, а v⃗′ — флуктуации. Основным статистическим объектом становится двумерная корреляционная функция:

R_ij(r⃗) = ⟨v_i(x⃗)v_j(x⃗ + r⃗)⟩,

которая описывает корреляции скоростей на расстоянии r⃗. С помощью преобразования Фурье эта функция связана со спектром энергии:

$$ E(k) = \frac{1}{2} \int e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} R_{ii}(\vec{r}) d^3r. $$

Энергетический каскад и закон Колмогорова

Колмогоровская гипотеза гласит, что при достаточно высоком числе Рейнольдса существует инерционный интервал масштабов, в котором динамика определяется исключительно масштабом и скоростью передачи энергии ε по спектру. В этом интервале спектр энергии ведёт себя как:

E(k) = Cε^2/3k^−5/3,

где C — универсальная константа Колмогорова. Это утверждение проверяется в экспериментах и численном моделировании и служит фундаментом для различных моделей крупномасштабной и субрешётчатой турбулентности.

Статистические моменты и их функции

Статистика турбулентных полей включает не только второй момент (корреляции), но и более высокие порядки, например:

S_p(r) = ⟨[v_∥(x⃗ + r⃗) − v_∥(x⃗)]^p⟩,

где v_∥ — продольная компонента скорости. Эти функции, называемые структурами порядка p, при изучении их масштабной зависимости выявляют отклонения от простого колмогоровского описания и демонстрируют интермиттентность — неравномерность в распределении энергии по пространству.

Многошкальный анализ турбулентности

Турбулентность по своей природе иерархична: крупные вихри распадаются на более мелкие. Для захвата этих структур традиционного спектрального анализа (например, преобразования Фурье) недостаточно: он хорошо локализует частоты, но не координаты. Альтернативой становится вейвлет-анализ, объединяющий локализацию в пространстве и по масштабу.

---

Вейвлет-преобразования в физике

Общие принципы вейвлет-анализа

Вейвлет-преобразование W_ψ[f](a, b) функции f(x) по вейвлету ψ(x) определяется как:

$$ W_\psi[f](a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \overline{\psi\left(\frac{x - b}{a}\right)} dx, $$

где a — масштаб, b — сдвиг. В отличие от преобразования Фурье, где основой служит синус или косинус (не локализованные по координате), вейвлеты — функции с компактной поддержкой или экспоненциальным спадом, хорошо локализованные как в пространстве, так и в частоте.

Выбор базисной функции

Вейвлет-функции ψ(x) подбираются в зависимости от задачи. Наиболее распространены:

• Мексиканская шляпа: вторая производная гауссиана. Хороша для анализа изолированных максимумов;
• Хаара: ступенчатая функция, простейший дискретный вейвлет;
• Доба́шис: семейство ортогональных вейвлетов с различной гладкостью и числом моментов.

Выбор зависит от требуемой гладкости, симметрии и численной реализации.

Дискретное вейвлет-преобразование (DWT)

В практических приложениях особенно популярен дискретный вейвлет-анализ, где сигналы представляются в виде разложений по ортонормированным базисам:

f(x) = ∑_j, kc_j, kψ_j, k(x),  ψ_j, k(x) = 2^j/2ψ(2^jx − k).

Каждый коэффициент c_j, k отвечает масштабу 2^−j и положению k. В случае турбулентности это позволяет выделить локальные вихри определённого масштаба в каждой точке пространства.

Применение вейвлетов в анализе турбулентности

Вейвлеты позволяют:

• выделять локальные структуры: вихри, сдвиги, слои с высокой градиентной активностью;
• оценивать масштабную интермиттентность, изучая распределения вейвлет-коэффициентов;
• проводить селективную фильтрацию: удаление шумов, нежелательных масштабов или даже реконструкцию отдельных вихревых структур.

На практике вейвлеты применяются для анализа экспериментальных ПИВ-данных, численного моделирования (DNS, LES) и даже в астрофизике (например, для выявления филаментных структур в космической плазме).

Локальные спектры энергии

Вейвлеты позволяют определить спектральную плотность энергии в зависимости как от масштаба, так и от положения:

E(a, x) = |W_ψ[f](a, x)|²,

что делает возможным построение карт локальных энергий и выявление областей, где инжекция или диссипация энергии особенно интенсивна. Это особенно важно для анализа аномальных событий, таких как скачки давления, ударные волны и граничные слои.

Сравнение с преобразованием Фурье

Характеристика	Фурье	Вейвлет
Пространственная локализация	Плохая	Хорошая
Частотная локализация	Отличная	Умеренная
Поддержка нестационарных процессов	Ограничена	Отличная
Вычислительная эффективность	Высокая (FFT)	Средняя, но оптимизируема
Применимость к турбулентности	Ограниченная (инерционный интервал)	Высокая (вся шкала)

Таким образом, вейвлет-анализ стал важным инструментом в арсенале современной математической физики, позволяя глубже понимать структуру турбулентных полей и выявлять скрытые закономерности в многомасштабных процессах.