Классическое волновое уравнение в трёхмерном евклидовом пространстве имеет вид:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u, $$
где u = u(x, t) — искомая функция (например, давление, скорость, перемещение), c — скорость распространения возмущений в среде, ∇2 — оператор Лапласа. Это уравнение описывает эволюцию малых возмущений в непрерывной среде и служит моделью для акустических, электромагнитных, сейсмических и других типов волн.
Для задач с начальными и граничными условиями волновое уравнение формулируется в виде задачи Коши или краевой задачи. Типичная начальная задача имеет форму:
$$ \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u, \\ u(\mathbf{x}, 0) = f(\mathbf{x}), \\ \frac{\partial u}{\partial t}(\mathbf{x}, 0) = g(\mathbf{x}), \end{cases} $$
где f и g — заданные функции начальных условий.
Метод разделения переменных приводит к рассмотрению собственных функций оператора Лапласа. В ограниченной области с граничными условиями Дирихле или Неймана уравнение принимает вид:
u(x, t) = ∑n[Ancos (cωnt) + Bnsin (cωnt)]ϕn(x),
где ϕn — собственные функции оператора Лапласа, удовлетворяющие:
∇2ϕn + ωn2ϕn = 0,
а коэффициенты An, Bn определяются начальными условиями с использованием ортогональности собственных функций.
Такое представление удобно при анализе устойчивости, дисперсии и колебательных мод нормальных форм волнового поля.
При наличии турбулентной среды волновое уравнение становится стохастическим. В простейшей постановке:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u + \xi(\mathbf{x}, t), $$
где ξ(x, t) — случайная (шумовая) сила, моделирующая влияние флуктуаций. Такая постановка характерна для анализа распространения волн в неоднородных, турбулентных, или случайных средах (например, в атмосфере, океане, плазме).
Среднее значение решения:
⟨u(x, t)⟩,
и корреляционные функции второго порядка:
R(x, x′, t, t′) = ⟨u(x, t)u(x′, t′)⟩,
играют ключевую роль в описании статистической структуры волнового поля. Переход к статистическим описаниям приводит к необходимости введения уравнений для спектральной плотности энергии и плотности вероятности решений.
В контексте турбулентности часто рассматривают векторное волновое уравнение для скорости или вихря:
$$ \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \mathbf{u} + \boldsymbol{\xi}(\mathbf{x}, t). $$
При этом используют спектральное представление, переходя к преобразованию Фурье:
u(k, t) = ∫e−ik ⋅ xu(x, t) dx,
что приводит к уравнению в k-пространстве:
$$ \frac{d^2 \mathbf{u}(\mathbf{k}, t)}{dt^2} + c^2 k^2 \mathbf{u}(\mathbf{k}, t) = \boldsymbol{\xi}(\mathbf{k}, t). $$
Анализ спектральной плотности энергии E(k), как функции волнового числа, позволяет установить законы распределения энергии, например, в инерционном диапазоне:
E(k) ∼ k−n,
где n ≈ 5/3 для классической турбулентности по Колмогорову. Волны, взаимодействующие с вихревыми структурами, формируют сложную картину колебательных и стохастических процессов.
Для учёта вязкости или других диссипативных эффектов волновое уравнение модифицируется:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \nabla^2 u, $$
где γ — коэффициент диссипации. Это уравнение описывает затухающие колебания и применимо к акустике в вязкой среде, волнам в упругих телах с внутренним трением, колебаниям в атмосфере и других системах, где важен учет потерь энергии.
При статистическом рассмотрении с добавлением флуктуационного источника:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \nabla^2 u + \xi(\mathbf{x}, t), $$
получают модель, соответствующую флуктуационно-диссипативным процессам, где выполняются соотношения типа флуктуации-диссипация.
При слабых нелинейностях волновые поля описываются уравнением:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u + \alpha u^3, $$
что соответствует, например, уравнению Клейна — Гордона с нелинейным членом. Такие модели учитывают нелинейные взаимодействия между модами, формирование солитонов, перенос энергии по спектру.
Нелинейные волны в турбулентной среде ведут к феноменам локализации, каскадному переносу энергии, развитию турбулентных спектров и стохастических резонансов.
Во многих моделях турбулентности волновые уравнения используются в приближениях для малых возмущений на фоне основного потока. Линеаризованные уравнения Навье–Стокса дают волновую структуру:
$$ \frac{\partial^2 \mathbf{u}'}{\partial t^2} = \nabla^2 \mathbf{u}' + \text{нелинейные и стохастические члены}, $$
где u′ — флуктуации скорости. Их анализ позволяет изучать устойчивость потока, механизмы возбуждения вихрей, модуляции амплитуд, переход к хаотическому режиму.
Если параметры среды (например, c = c(x)) случайны или пространственно неоднородны, волновое уравнение принимает вид:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nabla \cdot (c^2(\mathbf{x}) \nabla u), $$
и требует применения методов стохастического анализа: метода когерентного потенциала, метода функциональных интегралов, диаграммных техник.
Такие подходы позволяют описывать распространение волн в случайных средах, включая эффекты рассеяния, локализации, дисперсии и статистических флуктуаций фаз и амплитуд.
Одним из современных методов анализа волновых полей в турбулентных средах является вейвлет-анализ, позволяющий локализовать как по времени, так и по частоте. Это особенно важно при анализе нестационарных, локализованных турбулентных структур и колебательных мод, связанных с вихревыми образованиями.
Спектральная плотность в вейвлет-базисе даёт более точную информацию о динамике энергии и фазовых переходах между различными режимами потока.
Волновая динамика тесно связана с механизмом турбулентного каскада. В инерционном диапазоне передача энергии между масштабами может интерпретироваться как нелинейное взаимодействие волновых пакетов. В частности, модель слабой турбулентности строится на волновом приближении с нелинейными взаимодействиями третьего и более высокого порядков.
Анализ уравнений типа:
$$ \frac{\partial A_k}{\partial t} = \sum_{k_1, k_2} T_{k, k_1, k_2} A_{k_1} A_{k_2}^* + \cdots, $$
где Ak — амплитуды мод, позволяет описывать статистическое поведение спектров, энергетические флуктуации, развитие резонансных взаимодействий и установление энергетических законов масштаба.
Волновые уравнения сохраняют ряд величин — энергию, импульс, момент импульса — в отсутствии диссипации. Эти законы лежат в основе каскадных процессов. В статистических описаниях инварианты (например, инвариант Чандрасекара для магнитоакустических волн) играют роль ограничений на форму спектра и определяют стационарные распределения.
Применение принципов симметрии (групп Ли, вариационного принципа) к волновым уравнениям с турбулентными флуктуациями позволяет выявить скрытые законы сохранения, что важно для построения обобщённых моделей и численных схем.