Статистическое описание турбулентности. Средние величины и флуктуации
Рассмотрим поле скоростей в турбулентном течении, представляемое как векторное поле
v⃗(x⃗, t) = ⟨v⃗(x⃗, t)⟩ + v⃗′(x⃗, t),
где угловыми скобками обозначается среднее значение (по ансамблю, времени или пространству), а штрих обозначает флуктуацию относительно среднего. Такой разложение лежит в основе методов статистической гидродинамики.
Уравнения Рейнольдса
Подставляя разложение в уравнение Навье–Стокса и усредняя, получаем уравнение Рейнольдса:
$$ \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial t} + \langle v_j \rangle \frac{\partial \langle v_i \rangle}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \langle p \rangle}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \langle v_i \rangle}{\partial x_j^2} - \frac{\partial \langle v_i' v_j' \rangle}{\partial x_j}, $$
где тензор Рейнольдса
Rij = ⟨vi′vj′⟩
описывает вклад флуктуаций и должен быть замкнут с помощью дополнительных моделей — задача, известная как проблема замыкания.
Корреляционные функции
Для описания статистики турбулентности широко используются двухточечные корреляционные функции:
Rij(r⃗, t) = ⟨vi(x⃗, t)vj(x⃗ + r⃗, t)⟩,
и особенно важным является их преобразование Фурье — энергетический спектр:
$$ E(k) = \frac{1}{2} \int \delta(k - |\vec{k}|) \widehat{R}_{ii}(\vec{k}) d^3k. $$
Спектральное распределение энергии характеризует перенос энергии от крупных масштабов к мелким — энергетический каскад, центральный элемент теории Колмогорова.
Модель Колмогорова и универсальность
В инерционном интервале, при больших числах Рейнольдса, Колмогоров предположил, что статистика флуктуаций определяется только скоростью диссипации энергии ε и масштабом:
E(k) ∼ ε2/3k−5/3,
что экспериментально подтверждается для изотропной и однородной турбулентности.
Мгновенные и кумулятивные моменты
Рассмотрим мгновенные и центральные моменты флуктуаций. Второй момент (дисперсия) даёт интенсивность турбулентности. Более высокие моменты, например третий (асимметрия) и четвёртый (эксцесс), дают информацию о негауссовости поля скоростей:
$$ S = \frac{\langle (v')^3 \rangle}{\langle (v')^2 \rangle^{3/2}}, \quad K = \frac{\langle (v')^4 \rangle}{\langle (v')^2 \rangle^2}. $$
Интермиттенция и отклонения от масштабной инвариантности
Отклонения от закона Колмогорова связаны с интермиттенцией — неравномерным распределением диссипации энергии в пространстве. Это приводит к необходимости описания турбулентности как мультифрактального процесса. Введённая функция размерности D(h), характеризующая флуктуации порядка h, позволяет учесть флуктуации масштаба.
Статистические модели: теория Кра́йча́нана–Орза́га–Якобя́на
Для изучения турбулентности часто используются модели типа стохастических уравнений Бургера и оболочечных моделей. Они позволяют проследить поведение спектров и многоточечных корреляционных функций при ограниченном числе степеней свободы, облегчая как аналитические оценки, так и численные расчёты.
Роль группы симметрий и инвариантов
Инвариантность уравнений относительно группы Галилея, масштабных преобразований и отражений играет важную роль в формулировке возможных форм корреляционных функций. В частности, предполагается, что в инерционном интервале турбулентность становится статистически масштабно-инвариантной.
Теория вычетов и интегралы в математической физике
Вычеты и особенности комплексной функции
Пусть f(z) — аналитическая функция, за исключением изолированных особенностей. Если z0 — полюс порядка n, то
$$ \operatorname{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z - z_0)^n f(z) \right]. $$
Вычет — это коэффициент при (z − z0)−1 в разложении Лорана.
Интеграл по замкнутому контуру
Ключевая формула:
∮γf(z) dz = 2πi∑zk ∈ int(γ)Resz = zkf(z).
Эта формула позволяет вычислять сложные интегралы, включая вещественные, через теорию комплексных переменных.
Пример: интегралы типа Сохоцкого
Рассмотрим:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx, $$
где deg Q > deg P + 1, и все особенности лежат в верхней полуплоскости. Тогда:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}_{z_k} \frac{P(z)}{Q(z)}, $$
где zk — полюса в верхней полуплоскости.
Интегралы с синусами и косинусами
Интегралы вида
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + b^2} dx, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x^2 + b^2} dx $$
вычисляются путём перехода к комплексной экспоненте и замыкания контура в верхней или нижней полуплоскости. Например,
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{x^2 + b^2} dx = \pi \frac{e^{-ab}}{b}. $$
Интегралы с логарифмами и ветвлениями
Если функция имеет логарифмическую особенность, например:
$$ \int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2 + 1} dx, $$
то необходимо учитывать поведение на разветвлённой поверхности. Используются контуры обхода с вырезом и анализ ветвлений функции.
Применение в уравнениях физики
Решения уравнений теплопроводности, волнового уравнения и уравнений рассеяния часто выражаются через интегралы с особым поведением подынтегральной функции. Например, при переходе к частотной области методом Фурье, интегралы типа
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i k x}}{k^2 + \alpha^2} dk $$
дают фундаментальные решения уравнений в импульсном представлении.
Интегралы в теории рассеяния
Вычеты позволяют находить резонансные состояния и полюса амплитуд рассеяния. Для этого используется аналитическое продолжение матрицы рассеяния S(k) и определение её особенностей в комплексной плоскости импульса.
Формула Коши и её обобщения
Для аналитической функции справедливо:
$$ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - a} dz. $$
Эта формула используется в обратных преобразованиях Лапласа и Фурье и позволяет выразить решение задачи в виде интеграла по комплексу.
Вычеты и преобразования Лапласа
В задачах с начальными условиями, особенно при моделировании диффузии или релаксации, интегралы в образе Лапласа обращаются через вычисление вычетов. Если ℒ[f](s) = F(s), то
$$ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) ds, $$
и вычисление возможно, если известны полюса F(s).
Техника контурного интегрирования
Метод интегрирования с использованием контуров обхода, полуокружностей, ключевых точек (седловых, стационарных фаз) позволяет эффективно решать задачи асимптотического анализа и оценок интегралов в предельных режимах — например, в оптике, акустике и квантовой теории поля.