Реконструкция изображений — это процесс преобразования собранных проекционных данных (например, в компьютерной томографии, магнитно-резонансной томографии, позитронно-эмиссионной томографии) в двумерное или трёхмерное изображение внутренней структуры организма. Основная задача — восстановить распределение физических величин (плотности, радиоактивности, коэффициента ослабления и пр.) по сечению или объёму на основании измерений, полученных с разных углов.
Наиболее интуитивно понятный подход — простая обратная проекция. Она заключается в распространении каждого проекционного измерения вдоль траектории, по которой оно было получено. Однако такой метод приводит к размытым изображениям, так как энергия каждого луча распределяется вдоль всей прямой.
Для устранения размытия применяется взвешивание фильтром (фильтрационная обратная проекция, FBP — filtered back projection).
Метод основан на следующем:
FBP реализует численное приближение решения обратной задачи Радона. Пусть p(θ, s) — проекция объекта вдоль угла θ, тогда восстановленное изображение f(x, y) выражается как:
f(x, y) = ∫0π[∫−∞∞P(θ, ω)|ω|e2πiωsdω]dθ,
где P(θ, ω) — преобразование Фурье проекции p(θ, s), а s = xcos θ + ysin θ. Фильтр |ω| усиливает высокочастотные составляющие.
Когда данные неполны, зашумлены или неравномерно распределены, итеративные алгоритмы обеспечивают более устойчивую реконструкцию.
Этот метод основывается на решении системы линейных уравнений, полученной из дискретизированной формы проекций. Объём объекта разбивается на воксели, и каждый проекционный луч представляется как сумма значений вокселей, умноженных на длину пересечения с ними. Уравнения имеют вид:
∑jaijxj = pi,
где xj — значение вокселя, aij — длина пересечения i-го луча с j-м вокселем, pi — измеренное значение. Решение находится итерационно, обновляя значения xj по каждому уравнению.
В отличие от ART, SIRT одновременно использует все уравнения на каждой итерации и обновляет воксели глобально. Алгоритм более устойчив к шуму и сходим при наличии большого количества данных.
Этот алгоритм особенно важен для эмиссионной томографии (SPECT, PET), где данные подчиняются статистике Пуассона.
Реконструкция основывается на максимизации функции правдоподобия:
$$ L(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{N} \frac{(\sum_j a_{ij} x_j)^{p_i} e^{-\sum_j a_{ij} x_j}}{p_i!}, $$
где pi — число зарегистрированных событий, xj — интенсивность вокселя.
Используется итеративное обновление по формуле:
$$ x_j^{(k+1)} = x_j^{(k)} \cdot \sum_i \frac{a_{ij}}{\sum_l a_{il} x_l^{(k)}} p_i. $$
Для ускорения часто применяют модификации: OSEM (Ordered Subsets Expectation Maximization).
Итеративные методы чувствительны к шуму и недоопределённости задачи. Для стабилизации используются методы регуляризации:
min {∥Ax − p∥2 + λ∥Lx∥2},
где L — оператор (например, градиент), λ — параметр регуляризации.
В КТ наиболее применим FBP из-за высокой скорости. Однако при пониженной дозе облучения всё чаще используются итеративные методы (например, MBIR — Model-Based Iterative Reconstruction), которые улучшают качество при низком сигнале.
В МРТ измеряется преобразование Фурье изображения. Реконструкция осуществляется через обратное преобразование Фурье, но при ускоренной съёмке используется:
Реконструкция производится итеративными методами (MLEM, OSEM) с учётом физики процесса: распада, рассеяния, детекторного отклика и пр. Моделируются искажения для более точной реконструкции распределения радиофармацевтического препарата.
Современные подходы включают сверточные нейронные сети (CNN) и глубокие автоэнкодеры, обученные реконструировать изображение из проекций или после классической FBP/ML реконструкции. Модели могут:
Примеры — DeepCT, AUTOMAP, DeepPET.
Однако такие методы требуют большого количества обучающих данных, могут быть нечувствительны к редким патологиям и трудно поддаются интерпретации.
Для валидации используются метрики:
Современные томографы оснащаются специализированными процессорами (GPU, FPGA), обеспечивающими параллельную высокоскоростную реконструкцию. Программно реализуются в таких пакетах как:
Алгоритмы реконструкции изображений лежат в основе диагностической визуализации. Их выбор определяется задачей, типом модальности, уровнем шума и доступной вычислительной мощностью. Понимание принципов, ограничений и возможностей каждого метода критически важно для разработки и применения современных медицинских систем визуализации.