Дифференциальное и интегральное исчисление в медицинской физике
Математический аппарат медицинской физики основывается прежде всего на методах анализа непрерывных процессов. Дифференциальное и интегральное исчисление позволяет моделировать изменение физиологических параметров во времени, оценивать скорость биохимических реакций, рассчитывать дозиметрию в радиотерапии и описывать транспорт веществ в биологических тканях.
Дифференциальные уравнения являются центральным инструментом. Например, распространение лекарственного вещества в ткани моделируется уравнениями диффузии, основанными на втором законе Фика:
∂C/∂t = D·∂²C/∂x²
где C — концентрация вещества, t — время, x — пространственная координата, D — коэффициент диффузии.
В физиологии дыхания используются уравнения, описывающие динамику парциального давления кислорода и углекислого газа в легочных альвеолах. При расчётах гемодинамики применяются уравнения Навье–Стокса, адаптированные к условиям течения крови в сосудах с переменным диаметром.
Интегральное исчисление используется для определения совокупного эффекта во времени — например, для вычисления поглощённой дозы при облучении:
D = ∫₀ᵗ P(t) dt
где D — доза, P(t) — мощность дозы во времени. Это позволяет оценить общее воздействие и его биологический эффект.
Линейная алгебра и матричный анализ
Линейная алгебра активно применяется в методах обработки изображений (например, в МРТ и КТ), при анализе биомедицинских сигналов, а также при решении систем уравнений, возникающих в задачах моделирования физиологических процессов.
Матрицы и операторы используются при реконструкции изображений в томографических методах. В частности, преобразование Радона и его инверсия требуют сложных матричных операций, для которых применяются численные алгоритмы, такие как обратное проецирование и метод Фурье-фильтрации.
Пример: при КТ сканировании тело пациента просвечивается под разными углами. Полученные проекции описываются системой линейных уравнений:
Ax = b
где A — матрица измерений (геометрия сканирования), x — распределение коэффициента ослабления в теле, b — вектор зарегистрированных сигналов. Задача — найти x, зная A и b.
Теория вероятностей и математическая статистика
Медицинская физика немыслима без оценки достоверности данных и статистической обработки результатов. Любое измерение в медицине подвержено шуму, поэтому необходимо оценивать доверительные интервалы, вероятности ошибок и статистическую значимость различий.
Ключевые понятия:
Численные методы и моделирование
Большинство моделей медицинской физики невозможно решить аналитически. Поэтому используются численные методы:
Фурье-анализ и спектральные методы
Для анализа сигналов, получаемых с медицинских приборов (например, ЭКГ, ЭЭГ, МРТ), широко применяются методы спектрального анализа. Сигнал представляется как сумма синусоид:
f(t) = ∑ Aₙ·cos(nωt + φₙ)
Фурье-преобразование позволяет перейти от временной области к частотной, выделяя ключевые компоненты, такие как ритмы сердца или мозговые волны.
В МРТ используется быстрое преобразование Фурье (FFT) для получения изображений из сигналов, индуцированных в приёмной катушке.
Оптимизация и методы наименьших квадратов
При калибровке оборудования, подборе параметров моделей и реконструкции изображений используются методы оптимизации. Наиболее распространённый — метод наименьших квадратов:
S = ∑ (yᵢ - f(xᵢ))² → min
где yᵢ — экспериментальные значения, f(xᵢ) — модельные значения. Минимизация позволяет подобрать параметры f, соответствующие наилучшему приближению к эксперименту.
В клинических задачах, например при планировании радиотерапии, оптимизация позволяет минимизировать дозу на здоровые ткани при максимальном воздействии на опухоль. Задача сводится к многокритериальной оптимизации с ограничениями.
Теория систем и управление
Современные технологии, такие как ИВЛ, диализ, терморегуляция и нейростимуляция, требуют применения математической теории управления. Система описывается уравнениями состояния, а задача заключается в построении управляющего воздействия:
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx
где x — вектор состояния (например, концентрация кислорода в крови), u — управляющее воздействие (настройки ИВЛ), y — измеряемый выход.
Алгоритмы обратной связи позволяют автоматически регулировать параметры систем в зависимости от состояния пациента, обеспечивая стабильность и безопасность.
Фрактальный анализ и нелинейная динамика
Физиологические сигналы (пульс, дыхание, ЭЭГ) часто обладают фрактальной структурой и проявляют признаки хаотичности. Для их анализа применяются методы нелинейной динамики:
Это особенно важно при мониторинге пациентов в отделениях интенсивной терапии, где анализ нестабильных динамических паттернов может предсказать кризисные состояния.
Вывод физико-математической модели из экспериментальных данных
Процесс построения модели начинается с выявления зависимостей между переменными, формализации этих связей (например, через дифференциальные уравнения), подбора параметров модели на основе статистического анализа, проверки устойчивости модели и последующего использования в прогнозировании.
Классический пример — модель биораспада радиофармпрепарата, описываемая экспоненциальным законом:
C(t) = C₀·e^(-λt)
Здесь λ — константа распада, определяемая экспериментально.
Интердисциплинарные подходы
Математический аппарат медицинской физики базируется не только на традиционных разделах математики, но также включает элементы информатики, теории информации, логики и алгоритмов машинного обучения. Современные методы основаны на комбинировании численных вычислений с экспериментальными и клиническими данными, что делает математику не просто инструментом описания, но активным участником медицинского процесса.