Адиабатный процесс и уравнение Пуассона

Адиабатным называется термодинамический процесс, протекающий в системе без теплообмена с окружающей средой. Это означает, что количество теплоты, переданное системе или отданное ею, равно нулю:

Q = 0

В силу первого закона термодинамики:

dQ = dU + dA

где

  • dQ — количество подведённой теплоты,
  • dU — изменение внутренней энергии,
  • dA — работа, совершаемая системой.

При dQ = 0 уравнение принимает вид:

dU = −dA

Таким образом, внутренняя энергия системы изменяется исключительно за счёт работы, совершаемой системой или над системой. Если система расширяется, она совершает работу и её внутренняя энергия уменьшается. Если же система сжимается, над ней совершается работа, и её внутренняя энергия возрастает.

Условия осуществления адиабатного процесса

Чтобы процесс можно было считать адиабатным, должны выполняться следующие условия:

  • Идеальная тепловая изоляция: теплообмен между системой и внешней средой отсутствует.
  • Быстрота протекания: процесс должен протекать настолько быстро, чтобы теплота не успела передаться.
  • Однородность системы: отсутствие температурных градиентов внутри системы.

Математическое описание адиабатного процесса

Рассмотрим идеальный газ, подчиняющийся уравнению состояния:

pV = nRT

Известно, что для идеального газа изменение внутренней энергии выражается как:

dU = nCVdT

А работа газа при малом изменении объёма:

dA = pdV

Подставляя в уравнение dU = −dA, получаем:

nCVdT = −pdV

Выразим давление через уравнение состояния: $p = \dfrac{nRT}{V}$, тогда:

$$ nC_V dT = -\dfrac{nRT}{V} dV $$

Сократим на n и разделим обе части на T:

$$ C_V \dfrac{dT}{T} = -R \dfrac{dV}{V} $$

Интегрируя обе части:

CVln T = −Rln V + const

или

ln TCV + ln VR = const  ⇒  TCVVR = const

Разделим показатели на CV:

TVγ − 1 = const

где

$$ \gamma = \dfrac{C_p}{C_V} $$

— показатель адиабаты.

Это первое из уравнений, описывающих адиабатный процесс.

Уравнения Пуассона

Из предыдущего соотношения TVγ − 1 = const можно вывести ещё два выражения, называемые уравнениями Пуассона:

pVγ = const

TVγ − 1 = const

$$ \frac{T^\gamma}{p^{\gamma - 1}} = \text{const} $$

Или в дифференциальной форме:

$$ \frac{dp}{p} + \gamma \frac{dV}{V} = 0 $$

Эти выражения связывают между собой давление, объём и температуру идеального газа при адиабатном процессе. Они аналогичны изотермическому уравнению pV = const, но учитывают, что температура уже не остаётся постоянной.

Геометрическая интерпретация на диаграмме pV

На координатной плоскости pV адиабата имеет вид падающей кривой, подобно изотерме, но убывает быстрее, чем изотерма. Это объясняется тем, что при сжатии газа в адиабатном процессе температура возрастает, что увеличивает давление по сравнению с изотермическим случаем.

Аналогично, при расширении газа в адиабате температура уменьшается, и давление падает быстрее, чем в изотермическом процессе. В результате график адиабаты круче, чем график изотермы.

Работа газа в адиабатном процессе

Работа, совершаемая газом при переходе из состояния (p1, V1) в состояние (p2, V2), определяется интегралом:

A = ∫V1V2p dV

Согласно уравнению Пуассона: pVγ = const, откуда:

$$ p = \frac{p_1 V_1^\gamma}{V^\gamma} $$

Подставим это в интеграл:

$$ A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1 V_1^\gamma}{V^\gamma} \, dV = \frac{p_1 V_1^\gamma}{1 - \gamma} \left( V_2^{1 - \gamma} - V_1^{1 - \gamma} \right) $$

Другой эквивалентный вид:

$$ A = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{\gamma - 1} $$

Это выражение показывает, что работа газа в адиабатном процессе зависит от изменения давления и объёма, и от показателя адиабаты γ, который определяет физические свойства газа (например, для одноатомного газа $\gamma = \frac{5}{3}$, для двухатомного — $\gamma = \frac{7}{5}$).

Сравнение с изотермическим процессом

  • В изотермическом процессе температура остаётся постоянной, и вся подведённая энергия уходит на совершение работы: dU = 0, dQ = dA.
  • В адиабатном процессе температура изменяется, работа совершается за счёт внутренней энергии: dQ = 0, dA = −dU.

Таким образом, при одинаковом изменении объёма газ в адиабатном процессе совершает меньше работы, чем в изотермическом, если речь идёт о расширении. Однако при сжатии — наоборот, газ в адиабатном процессе требует больше работы.

Обратимость и необратимость

Идеальный адиабатный процесс возможен только при отсутствии теплообмена и трения. На практике он приближённо реализуется, например:

  • при быстром сжатии или расширении газа (тепло не успевает передаться),
  • в цилиндрах поршневых машин в некоторых фазах их цикла (например, в дизельных двигателях сжатие приближённо адиабатно).

В реальных условиях из-за неизбежных теплопотерь и трения адиабатный процесс часто является необратимым.

Применение адиабаты в физике и технике

Понимание адиабатных процессов важно при анализе:

  • тепловых машин (цикл Карно, цикл Отто, цикл Дизеля),
  • звуковых волн в газах (изменение давления происходит адиабатно, так как процесс быстр),
  • атмосферных явлений (адиабатное расширение воздуха при подъёме вызывает охлаждение и образование облаков),
  • изолированных термодинамических систем и процессов в космосе.

Таким образом, адиабатный процесс играет фундаментальную роль в молекулярной физике, термодинамике и инженерных приложениях.

Оглавление