В газе, находящемся в поле тяжести, молекулы распределяются по высоте неравномерно. Это распределение описывается барометрической формулой, вытекающей из статистической механики и представляющей частный случай более общего распределения Больцмана.
Пусть столб воздуха высотой h находится в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения g. Рассмотрим тонкий горизонтальный слой газа толщиной dz, находящийся на высоте z. Давление и плотность газа будут зависеть от высоты. Сила тяжести оказывает влияние на молекулы, создавая потенциальную энергию, зависящую от высоты:
U(z) = mgz,
где m — масса молекулы, g — ускорение свободного падения.
Поскольку система находится в тепловом равновесии, вероятность нахождения молекулы на высоте z определяется распределением Больцмана:
$$ n(z) = n_0 e^{-\frac{mgz}{kT}}, $$
где n(z) — концентрация молекул на высоте z, n0 — концентрация на уровне z = 0, k — постоянная Больцмана, T — температура газа.
Это выражение носит название барометрической формулы. Оно показывает, что концентрация (а следовательно, и плотность газа) убывает с увеличением высоты по экспоненциальному закону.
Барометрическая формула отражает равновесие между хаотическим тепловым движением молекул и действием гравитационной силы. При высокой температуре тепловая энергия велика, молекулы легче преодолевают потенциальный барьер и поднимаются на большую высоту, что приводит к более медленному убыванию плотности с высотой. При понижении температуры распределение становится более крутым.
Важно отметить, что эта формула справедлива только при следующих условиях применимости:
Барометрическая формула может быть получена также из уравнения гидростатического равновесия:
dP = −ρgdz,
где P — давление, ρ — плотность газа на высоте z. Подставляя уравнение состояния идеального газа:
$$ P = \frac{\rho k T}{m}, $$
или $\rho = \frac{mP}{kT}$, и подставляя в уравнение равновесия:
$$ \frac{dP}{dz} = -\frac{mgP}{kT}, $$
получаем дифференциальное уравнение:
$$ \frac{dP}{P} = -\frac{mg}{kT}dz. $$
Интегрируя:
$$ \ln P = -\frac{mgz}{kT} + \ln P_0, $$
$$ P(z) = P_0 e^{-\frac{mgz}{kT}}. $$
Это выражение аналогично барометрической формуле для давления. Таким образом, и давление, и плотность газа убывают с высотой по одному и тому же закону, зависящему от массы молекул, температуры и ускорения свободного падения.
С точки зрения статистики, вероятность нахождения частицы с потенциальной энергией U при температуре T равна:
$$ P(U) \propto e^{-\frac{U}{kT}}. $$
Если U = mgz, то:
$$ P(z) \propto e^{-\frac{mgz}{kT}}. $$
Это есть распределение Больцмана для потенциальной энергии. Оно применимо не только к молекулам в гравитационном поле, но и к частицам в любом внешнем потенциальном поле (электрическом, магнитном и т.п.).
Если частица может обладать как потенциальной энергией U, так и кинетической энергией Ek, то общая вероятность нахождения её в состоянии с полной энергией E = Ek + U будет:
$$ P(E) \propto e^{-\frac{E}{kT}}. $$
Распределение Больцмана — это фундаментальный результат статистической физики, описывающий равновесное распределение частиц по энергиям. Оно объясняет распределение частиц не только по высоте, но и по скорости, направлению движения, состояниям связывания и т.д.
Распределение Больцмана используется для вывода распределения Максвелла по скоростям. Там потенциальная энергия отсутствует, и полная энергия частицы — это просто кинетическая энергия:
$$ E = \frac{1}{2}mv^2, $$
и тогда:
$$ P(v) \propto e^{-\frac{mv^2}{2kT}}. $$
Таким образом, барометрическая формула — это пространственное проявление распределения Больцмана, а распределение Максвелла — его кинетическое проявление.
Из барометрической формулы можно выделить характерную высоту, на которой давление или плотность убывают в e раз:
$$ H = \frac{kT}{mg}. $$
Эта величина называется высотой масштабного падения (или просто высота атмосферы в изотермической модели) и показывает, как чувствительно распределение молекул зависит от массы и температуры.
Например, при температуре T = 300 K, для молекул азота N2 (средняя масса около m ≈ 4.65 × 10−26 кг), получаем:
$$ H \approx \frac{1.38 \times 10^{-23} \cdot 300}{4.65 \times 10^{-26} \cdot 9.8} \approx 8800 \, \text{м}. $$
Это хорошо соответствует наблюдаемому падению плотности воздуха с высотой в нижних слоях атмосферы.
Барометрическая формула применяется не только в атмосфере Земли, но и при моделировании атмосфер планет, при анализе условий в аэростатах, проектировании летательных аппаратов и при расчётах спутниковых орбит (в верхних слоях атмосферы сопротивление воздуха всё ещё важно).
Также она используется в технологиях вакуумных установок, в анализе распределения частиц в ионных ловушках, в потенциальных ямах и даже при моделировании квантовых систем в классическом приближении.