Условия возникновения бозе-эйнштейновской конденсации
Бозе-эйнштейновская конденсация (БЭК) — квантовомеханический макроэффект, возникающий в системе идентичных бозонов при температуре, достаточно низкой для того, чтобы значительное число частиц оказалось в основном квантовом состоянии. Этот эффект обусловлен статистикой Бозе — Эйнштейна и принципиальной возможностью для бозонов занимать одно и то же квантовое состояние без ограничений.
Рассмотрим систему идеального газа бозонов с пренебрежимо малыми взаимодействиями между частицами. Система характеризуется числом частиц N, объёмом V, температурой T, и химическим потенциалом μ. Распределение по состояниям задаётся формулой Бозе — Эйнштейна:
$$ \langle n(\varepsilon) \rangle = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_BT} - 1} $$
Здесь ε — энергия одночастичного состояния, kB — постоянная Больцмана. Химический потенциал μ < ε0, где ε0 — энергия основного состояния. При T → 0 химический потенциал стремится к ε0, и функция распределения резко возрастает на этом уровне энергии, что приводит к накоплению частиц в основном состоянии.
Критическая температура и распределение частиц
В пределе термодинамического равновесия число частиц, находящихся в возбужденных состояниях, определяется интегралом по фазовому пространству:
$$ N' = \int_0^{\infty} \frac{g(\varepsilon)\, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_BT} - 1} $$
где g(ε) — плотность одночастичных состояний. Для газа в объёме V и без потенциальной ловушки:
$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{4\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \varepsilon^{1/2} $$
Подставляя в интеграл, получаем:
$$ N' = V \left( \frac{2\pi mk_BT}{h^2} \right)^{3/2} \zeta(3/2) $$
где ζ(3/2) ≈ 2.612 — значение дзета-функции Римана. Число частиц в возбуждённых состояниях не может превышать это значение, а общее число частиц N включает и конденсат:
N = N0 + N′
Таким образом, при температуре выше критической Tc все частицы распределены по возбужденным состояниям. Критическая температура Tc соответствует условию N0 = 0:
$$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{mk_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} $$
где n = N/V — концентрация частиц.
При T < Tc происходит конденсация: число частиц в основном состоянии N0 растёт:
$$ \frac{N_0}{N} = 1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^{3/2} $$
Физическая интерпретация конденсата
Бозе-эйнштейновский конденсат представляет собой макроскопически населённое квантовое состояние. Все частицы в основном состоянии имеют одинаковую фазу волновой функции, что придаёт системе когерентность. Это аналог лазерного излучения, но в пространственном, а не фотонном аспекте.
С физической точки зрения БЭК — это проявление квантовой статистики на макроскопическом уровне. Волновые функции частиц начинают перекрываться при длине волны де Бройля, сравнимой с межчастичным расстоянием. Такая длина волны задаётся выражением:
$$ \lambda_{\text{dB}} = \sqrt{ \frac{2\pi \hbar^2}{mk_BT} } $$
БЭК возникает, когда λdB3 ∼ 1/n, то есть средняя длина волны становится сравнимой с объёмом, занимаемым одной частицей.
Особенности поведения системы в состоянии конденсата
Бозе-эйнштейновская конденсация в ловушках
В лабораторных условиях БЭК реализуется с помощью атомов щелочных металлов (например, рубидия, натрия, лития), охлаждаемых лазерным и испарительным охлаждением и удерживаемых в магнитных или оптических ловушках.
Для таких систем плотность состояний изменяется: в гармонической ловушке она принимает вид:
g(ε) ∝ ε2
что приводит к другой критической температуре:
$$ T_c = \hbar \bar{\omega} \left( \frac{N}{\zeta(3)} \right)^{1/3} $$
где ω̄ — средняя частота ловушки, ζ(3) ≈ 1.202.
Конденсат в ловушке занимает минимум потенциальной энергии и имеет пространственно локализованную плотность, описываемую в приближении Гросса–Питаевского.
Уравнение Гросса–Питаевского
Для описания слабовзаимодействующих конденсатов используют нелинейное уравнение Шрёдингера:
$$ i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 \right] \psi(\mathbf{r}, t) $$
где V(r) — внешнее потенциальное поле, g = 4πℏ2a/m — коэффициент, определяемый рассеянием при низких энергиях (с длиной рассеяния a). Это уравнение позволяет описывать структуру, стабильность и динамику конденсата, включая солитоны, вихри, колебания и слияние.
Экспериментальные достижения
Современные направления исследований
Бозе-эйнштейновская конденсация как макроскопическое квантовое явление
БЭК демонстрирует возможность наблюдать чисто квантовые эффекты на макроскопическом уровне. Она соединяет квантовую статистику, нелинейную динамику и экспериментальную точность, представляя собой уникальный инструмент как для фундаментальной, так и для прикладной физики.