В молекулярной физике большое значение имеет описание столкновений частиц, происходящих в разреженных газах. При движении молекулы газа взаимодействуют между собой за счёт сил межмолекулярного взаимодействия, что приводит к отклонению их траекторий. Несмотря на сложность этих процессов, они могут быть количественно охарактеризованы с помощью понятия эффективного сечения столкновения, которое определяет вероятность взаимодействия частиц при сближении на определённое расстояние.
Эффективное сечение — это характеристика геометрической области, в пределах которой при сближении двух частиц происходит взаимодействие. Иными словами, это площадь поперечного сечения, которое представляет “цель” для пролетающей молекулы, при попадании в которую происходит столкновение.
Рассмотрим простейший случай — два сферических твердых тела радиусов r1 и r2. При взаимном сближении они сталкиваются, если расстояние между их центрами становится меньше суммы их радиусов. Тогда эффективное сечение σ такого столкновения определяется как площадь круга радиуса r = r1 + r2:
σ = π(r1 + r2)2
Этот результат применим при рассмотрении “жестких шаров”, но для реальных молекул взаимодействие происходит по законам потенциального взаимодействия, и, следовательно, эффективное сечение зависит от формы потенциала, энергии столкновения и других факторов.
Эффективное сечение в общем случае не является постоянной величиной. Оно зависит от относительной скорости vrel сталкивающихся молекул. При малых энергиях взаимодействие может быть слабым, а при больших энергиях — более интенсивным, с возможным переходом в неупругие процессы (например, возбуждение молекулы).
Формально эффективное сечение можно определить через интеграл по углу рассеяния:
$$ \sigma(v_{\text{rel}}) = \int (1 - \cos \theta) \, \frac{d\sigma}{d\Omega} \, d\Omega $$
где θ — угол рассеяния, $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ — дифференциальное сечение рассеяния, а интегрирование ведётся по телесному углу Ω.
Для упругих столкновений с центральным потенциалом можно использовать классические приближения и методы механики для нахождения зависимости между углом рассеяния и параметром столкновения.
Параметр столкновения b — минимальное расстояние между траекториями центров двух молекул, если бы они двигались прямолинейно без взаимодействия. При наличии взаимодействия траектория отклоняется, и угол отклонения χ связан с b и с формой потенциала. Тогда эффективное сечение можно выразить через интеграл по параметру столкновения:
σ = 2π∫0bmaxb P(b) db
где P(b) — вероятность столкновения при заданном b. Для жестких шаров P(b) = 1 при b < r1 + r2, и P(b) = 0 при b ≥ r1 + r2.
Так как молекулы газа имеют распределение скоростей (Максвелла), необходимо использовать среднее эффективное сечение ⟨σ⟩, получаемое усреднением по всем возможным относительным скоростям. Это даёт:
⟨σvrel⟩ = ∫0∞σ(vrel) vrel f(vrel) dvrel
где f(vrel) — функция распределения относительных скоростей. Эта величина часто используется в кинетической теории газов и определяет частоту столкновений в единице объёма.
Для определения среднего числа столкновений, происходящих за единицу времени, используется выражение:
Z = n⟨σvrel⟩
где n — концентрация молекул-мишеней. Это выражение определяет число столкновений, совершаемых одной молекулой в единицу времени. Для оценки общего числа столкновений в единице объёма:
$$ Z_{\text{tot}} = \frac{1}{2} n^2 \langle \sigma v_{\text{rel}} \rangle $$
Коэффициент $\frac{1}{2}$ учитывает, что каждое столкновение учитывается один раз, несмотря на то, что участвуют две молекулы.
В задачах переноса импульса, энергии и массы важны транспортные сечения, отличающиеся от обычных геометрических. Наиболее важными являются:
Сечение переноса импульса:
$$ \sigma_{\text{тр}} = \int (1 - \cos \theta) \, \frac{d\sigma}{d\Omega} \, d\Omega $$
Сечение переноса энергии:
$$ \sigma_E = \int (1 - \cos^2 \theta) \, \frac{d\sigma}{d\Omega} \, d\Omega $$
Эти сечения учитывают вклад рассеяния при разных углах и особенно важны при малых углах, где геометрическое сечение может быть большим, но реальное изменение параметров системы — незначительным.
Для различных моделей межмолекулярных потенциалов эффективное сечение может быть вычислено с использованием приближённых или численных методов. Некоторые распространённые модели:
Потенциал Леннард-Джонса:
$$ U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^6 \right] $$
Здесь σ — параметр, соответствующий расстоянию при нулевом потенциале, ε — глубина потенциальной ямы. Для такого потенциала эффективное сечение определяется численно и имеет сложную зависимость от температуры.
Потенциал твёрдых шаров (жёсткие сферы):
σ = πd2
где d — диаметр молекулы. Эта модель проста, но приближённа.
Потенциал инверсной степени:
$$ U(r) = \frac{C}{r^n} $$
В этом случае аналитические выражения для эффективного сечения возможны только при определённых значениях n, и сечение сильно зависит от энергии столкновения.
Так как средняя относительная скорость молекул увеличивается с температурой, эффективное сечение, зависящее от vrel, также изменяется. В общем случае при высоких температурах сечение может уменьшаться (для притягивающих потенциалов), так как молекулы двигаются быстрее и находятся меньшее время в области действия сил взаимодействия.
Для модели Леннард-Джонса и других реальных потенциалов используются приближённые формулы вида:
⟨σv⟩ ∼ T−s
где s — положительная величина, определяемая формой потенциала. Это учитывается в расчётах вязкости, теплопроводности, диффузии.
Понятие эффективного сечения играет ключевую роль в молекулярно-кинетической теории и статистической физике. Оно используется:
Таким образом, эффективное сечение — это фундаментальная количественная характеристика, позволяющая переходить от микроскопического описания взаимодействий к макроскопическим параметрам вещества.