Флуктуационно-диссипационная теорема
В микроскопической физике поведение систем обусловлено не только средними значениями наблюдаемых величин, но и их флуктуациями. Даже в состоянии термодинамического равновесия система испытывает случайные отклонения от среднего, вызванные тепловыми движениями частиц. Эти флуктуации — неотъемлемое проявление микроскопической природы материи.
С другой стороны, диссипативные процессы представляют собой необратимые явления, сопровождающиеся рассеянием энергии и стремлением системы к термодинамическому равновесию. Типичными примерами являются вязкость, теплопроводность и электрическое сопротивление. Несмотря на противоположный характер — хаотичность флуктуаций и направленность диссипации — между ними существует глубокая физическая связь, выраженная в флуктуационно-диссипационной теореме.
Флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ) устанавливает, что интенсивность термических флуктуаций прямо связана с коэффициентами диссипации системы. Другими словами, те же самые микроскопические процессы, которые ответственны за возврат системы к равновесию (диссипация), вызывают флуктуации в равновесном состоянии.
Изначально сформулированная Ниббсом и Каллингом, а затем обобщённая Ку́бом (теорема Ку́бы), ФДТ позволяет выразить спектральную плотность флуктуаций через отклик системы на малые внешние возмущения.
Пусть наблюдаемая величина A(t) подвержена слабому внешнему возмущению, вызывающему изменение другой величины B. Линейная откликная теория описывает изменение среднего значения ⟨A(t)⟩ как линейный функционал от внешней силы F(t):
δ⟨A(t)⟩ = ∫−∞tχAB(t − t′)F(t′)dt′,
где χAB(t − t′) — функция отклика. Согласно теореме Кубо, эта функция выражается через корреляционную функцию флуктуаций в равновесии:
$$ \chi_{AB}(t) = \frac{i}{\hbar} \theta(t) \langle [A(t), B(0)] \rangle, $$
где θ(t) — тета-функция Хевисайда, а [A, B] — коммутатор.
Спектральная плотность флуктуаций SAA(ω) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции:
SAA(ω) = ∫−∞∞⟨A(t)A(0)⟩eiωtdt.
Флуктуационно-диссипационная теорема устанавливает связь между этой величиной и мнимой частью функции отклика:
$$ S_{AA}(\omega) = \frac{2\hbar}{1 - e^{-\hbar\omega/k_BT}} \, \mathrm{Im} \, \chi_{AA}(\omega). $$
В классическом пределе ℏω ≪ kBT это приводит к более простой форме:
$$ S_{AA}(\omega) = \frac{2k_BT}{\omega} \, \mathrm{Im} \, \chi_{AA}(\omega). $$
Таким образом, спектральная плотность термических флуктуаций непосредственно выражается через диссипативную (мнимую) часть отклика системы на внешние возмущения.
Для простой жидкости вязкость η может быть выражена через временную корреляционную функцию флуктуаций тензора напряжений:
$$ \eta = \frac{V}{k_BT} \int_0^\infty \langle \sigma_{xy}(0) \sigma_{xy}(t) \rangle dt. $$
Это выражение является частным случаем флуктуационно-диссипационной теоремы, связывая макроскопическую диссипативную характеристику с микроскопическими флуктуациями.
Электрическая проводимость σ проводника связана с тепловым шумом тока — так называемым шумом Джонсона–Никвиста. Спектральная плотность тока в резисторе сопротивлением R при температуре T определяется как:
SI(ω) = 4kBTR−1,
что соответствует флуктуационно-диссипационной теореме в классическом пределе.
Коэффициент теплопроводности κ также может быть выражен через автокорреляцию плотности теплового потока:
$$ \kappa = \frac{1}{k_BT^2 V} \int_0^\infty \langle \vec{J}_q(0) \cdot \vec{J}_q(t) \rangle dt. $$
Таким образом, измерение спонтанных флуктуаций теплового потока позволяет определить теплопроводность без создания градиента температуры.
Флуктуационно-диссипационная теорема активно применяется в численных методах молекулярной физики, в частности в молекулярной динамике. Вместо моделирования внешнего воздействия, можно вычислить равновесные флуктуации величин, таких как плотность импульса или поток энергии, и через корреляционные функции получить транспортные коэффициенты.
Этот подход особенно ценен в системах, где сложно реализовать стационарный градиент, например, в наноструктурах, биологических мембранах или сложных жидкостях.
Флуктуационно-диссипационная теорема применима при выполнении следующих условий:
Вне равновесия классическая форма ФДТ перестаёт быть справедливой. Однако существуют её обобщения для стационарных неравновесных состояний, как, например, теоремы о флуктуациях (fluctuation theorems), такие как теорема Крофорда–Галлэвина, теорема Ярузинского и др., которые связывают вероятность обратимых и необратимых траекторий в микроскопической динамике.
Флуктуационно-диссипационная теорема подчеркивает глубокое единство между динамикой и статистикой, между случайными тепловыми колебаниями и упорядоченным возвращением к равновесию. Она указывает, что диссипативные свойства, проявляющиеся на макроскопическом уровне, являются следствием статистических флуктуаций микроскопических степеней свободы.
Таким образом, ФДТ выступает как краеугольный камень современной статистической физики, соединяя механизмы флуктуаций, линейного отклика и необратимости воедино.