Квазичастицы и коллективные возбуждения в кристалле: природа фононов
Колебания атомов в твердом теле
В кристаллическом твёрдом теле атомы располагаются в узлах периодической решётки и совершают около своих равновесных положений тепловые колебания. Эти колебания обусловлены не только тепловой энергией, но и квантовой природой атомов. В приближении малых колебаний можно использовать модель гармонического осциллятора, что позволяет записывать движение каждого атома через суперпозицию нормальных мод, каждая из которых соответствует определённому частотному спектру.
Анализ малых колебаний кристаллической решётки приводит к введению квазичастиц — фононов, квантов колебаний решётки. Подобно тому как фотоны являются квантами электромагнитного поля, фононы представляют собой кванты упругих волн в твёрдом теле. Они описываются волновым вектором k и частотой ω(k) и подчиняются квантовой статистике бозонов.
Дисперсионные свойства фононов
Фононы характеризуются дисперсионным соотношением — зависимостью частоты от волнового вектора. В одноатомной цепочке с расстоянием между атомами a и массой m можно получить:
$$ \omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{m}} \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|, $$
где C — постоянная упругости между соседними атомами. Это соотношение демонстрирует, что фононы в кристалле обладают верхним пределом частоты, называемым частотой Дебая ωD, что соответствует максимально возможной энергии фонона.
В кристаллах с несколькими атомами в ячейке появляются две разновидности колебаний: акустические и оптические фононы. Акустические фононы связаны с согласованным движением атомов, при котором вся ячейка смещается как целое. Оптические фононы возникают, когда атомы в элементарной ячейке движутся в противоположных фазах.
Квантование колебаний: фонон как бозон
Переход к квантовой механике приводит к представлению нормальных мод колебаний как независимых квантовых гармонических осцилляторов. Каждой моде с частотой ω соответствует энергия:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
Кванты возбуждения n в данной моде называются фононами. Поскольку фононы — бозоны, они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна:
$$ \bar{n}(\omega) = \frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{k_B T}\right) - 1}, $$
где n̄(ω) — среднее число фононов с частотой ω при температуре T, ℏ — приведённая постоянная Планка, kB — постоянная Больцмана.
Фононный газ и его термодинамические свойства
Система фононов в твёрдом теле рассматривается как газ фононов, аналогично фотонному газу. Однако фононы существуют только внутри вещества, в отличие от фотонов, которые могут распространяться в вакууме.
Фононный газ можно описывать через плотность состояний:
$$ g(\omega) \, d\omega = \frac{V \omega^2}{2\pi^2 v_s^3} \, d\omega, $$
где vs — средняя скорость звука в кристалле. В модели Дебая ограничивают спектр максимальной частотой ωD, соответствующей числу нормальных мод, равному 3N, где N — число атомов в кристалле.
Энергия и теплоёмкость фононного газа
Полная энергия фононного газа:
E = ∫0ωDℏω n̄(ω) g(ω) dω.
Подставляя распределение Бозе — Эйнштейна и выражение для плотности состояний, получаем:
$$ E = 9 N k_B T \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^3}{e^x - 1} dx, $$
где x = ℏω/kBT, ΘD = ℏωD/kB — температура Дебая. Отсюда следует выражение для теплоёмкости:
$$ C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_V. $$
В пределе высоких температур (T ≫ ΘD) интеграл стремится к постоянному значению, и получаем закон Дюлонга — Пти:
CV ≈ 3NkB.
В низкотемпературной области (T ≪ ΘD), теплоёмкость убывает как куб температуры:
CV ∝ T3,
что подтверждается экспериментально и представляет собой важный результат теории Дебая.
Фононное рассеяние и теплопроводность
Фононы играют ключевую роль в теплопроводности диэлектриков. Тепло переносится за счёт движения фононов, причём важны механизмы рассеяния:
Средняя длина свободного пробега фонона и его скорость определяют теплопроводность:
$$ \kappa = \frac{1}{3} C_V v_s l, $$
где l — длина свободного пробега, vs — скорость звука.
При низких температурах, где ангармоничные взаимодействия малы, l может быть ограничена размерами образца, и теплопроводность растёт. При высоких температурах усиливается рассеяние между фононами, и теплопроводность уменьшается.
Фононное давление
Фононный газ обладает свойствами давления, аналогично фотонному газу. В изотропной среде давление фононов можно определить как:
$$ P = \frac{1}{3} \frac{E}{V}, $$
что соответствует уравнению состояния для безмассовых квазичастиц. Хотя фононы не обладают массой покоя, они могут переносить импульс и участвовать в обмене энергии и импульса в кристалле, например, при распространении тепловой волны.
Фононы и взаимодействие с другими возбуждениями
Фононы могут взаимодействовать с другими квазичастицами в твёрдом теле:
Особую роль фононы играют в таких явлениях, как сверхпроводимость, где именно фононный обмен обеспечивает притяжение между электронами, образующими куперовские пары.
Фононы в наноструктурах и квантовых системах
С развитием нанотехнологий изучение фононов стало актуально в контексте квантовых точек, нанопроволок и двумерных материалов (графен, переходные дихалькогениды). В этих системах изменяются спектры колебаний, проявляются квантизация и эффект размерного ограничения. Это существенно влияет на теплопроводность, акустические свойства и возможности управления тепловыми потоками на наноуровне.
Фононные кристаллы — специально сконструированные структуры с периодическим изменением упругих свойств — позволяют управлять распространением фононов, создавая аналог «фотонных кристаллов» для акустических волн. Это открывает новые перспективы в акустике, теплоуправлении и создании новых функциональных материалов.