Модель идеального газа

Основные положения модели идеального газа

Модель идеального газа представляет собой упрощённое теоретическое описание поведения разреженного газа, в котором взаимодействие между молекулами либо полностью отсутствует, либо сводится к редким абсолютно упругим столкновениям. Эта модель позволяет объяснить макроскопические свойства газов на основе микроскопического движения частиц.

В основе модели лежат следующие ключевые предпосылки:

  • Газ состоит из огромного числа идентичных частиц (молекул или атомов), находящихся в беспорядочном (хаотическом) движении.
  • Частицы рассматриваются как материальные точки, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними.
  • Взаимодействие между частицами отсутствует, за исключением мгновенных столкновений.
  • Столкновения частиц друг с другом и со стенками сосуда считаются абсолютно упругими.
  • На протяжении движения между столкновениями на частицы не действуют внешние силы.

Связь макроскопических и микроскопических параметров

Основной задачей молекулярно-кинетической теории идеального газа является установление связи между макроскопическими параметрами (давление, температура, объём) и микроскопическими характеристиками движения молекул (скорость, масса, энергия).

Пусть в сосуде объёмом V находится N молекул газа, каждая из которых имеет массу m. Тогда давление p, производимое газом на стенки сосуда, определяется следующим образом:

$$ p = \frac{1}{3} m n \langle v^2 \rangle $$

где $n = \frac{N}{V}$ — концентрация молекул, ⟨v2⟩ — среднее значение квадрата скорости молекул.

Таким образом, давление связано с кинетической энергией поступательного движения частиц:

$$ p = \frac{2}{3} n \langle \varepsilon \rangle $$

где $\langle \varepsilon \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$ — средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Температура и кинетическая энергия

Согласно молекулярно-кинетической теории, абсолютная температура T является мерой средней кинетической энергии молекул:

$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} k T $$

Здесь k — постоянная Больцмана, равная 1, 38 ⋅ 10−23 Дж/К.

Подставляя это выражение в уравнение давления, получаем уравнение состояния идеального газа в микроскопической форме:

p = nkT

или в макроскопической форме, если выразить через количество вещества ν и универсальную газовую постоянную R:

pV = νRT

где R = NAk ≈ 8, 31 Дж/(моль·К), NA — число Авогадро.

Средняя, наиболее вероятная и квадратичная скорости

Молекулы газа имеют различную скорость, и для статистического описания вводятся следующие характеристики:

  • Средняя скорость:

    $$ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} $$

  • Наиболее вероятная скорость:

    $$ v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} $$

  • Среднеквадратичная скорость:

    $$ v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} $$

Эти скорости связаны между собой соотношениями:

vmp < ⟨v⟩ < vrms

Уравнение Максвелла для распределения скоростей

Функция распределения Максвелла описывает, как молекулы газа распределены по скоростям при данной температуре:

$$ f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{mv^2}{2kT}} $$

Это распределение позволяет количественно определить долю молекул с определённой скоростью и проанализировать тепловое поведение газа. График функции имеет характерный максимум при наиболее вероятной скорости и экспоненциально убывает для больших скоростей.

Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа — это суммарная кинетическая энергия всех его молекул. Для одноатомного идеального газа:

$$ U = N \langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{2} NkT = \frac{3}{2} \nu R T $$

Для многоатомных газов учитываются дополнительные степени свободы (вращательные, колебательные), что изменяет численный коэффициент при T.

Работа идеального газа

При изобарическом (постоянное давление) расширении или сжатии газ совершает работу:

A = pΔV

В случае изотермического (при постоянной температуре) процесса работа вычисляется по формуле:

$$ A = nRT \ln \frac{V_2}{V_1} $$

Здесь V1 и V2 — начальный и конечный объёмы газа.

Ограничения модели идеального газа

Несмотря на свою простоту и эффективность в ряде задач, модель идеального газа применима лишь при выполнении ряда условий:

  • Давление не слишком высокое, чтобы расстояния между молекулами оставались большими;
  • Температура не слишком низкая, чтобы избежать фазового перехода в жидкость;
  • Взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало.

Для описания реальных газов при высоких давлениях и низких температурах применяются более точные модели — например, модель Ван-дер-Ваальса.

Роль модели в термодинамике и молекулярной физике

Модель идеального газа лежит в основе фундаментальных понятий термодинамики и статистической физики. Она служит отправной точкой для построения более сложных моделей и анализа реальных физических процессов. На её основе разрабатываются принципы теплового равновесия, законы термодинамики, теории флуктуаций и многое другое.

Оглавление