Молекулярно-кинетическое описание движения молекул
В модели идеального газа, согласно молекулярно-кинетической теории, молекулы непрерывно и хаотично движутся, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Каждая молекула имеет свою мгновенную скорость, и, поскольку число молекул в макроскопическом объёме огромно, вводится статистическое распределение этих скоростей. Для идеального газа в равновесии распределение скоростей молекул описывается распределением Максвелла. На основе этого распределения вводятся важнейшие статистические характеристики — наиболее вероятная скорость, средняя скорость и среднеквадратичная скорость молекул.
Распределение Максвелла по скоростям
Распределение Максвелла для молекул газа в трёхмерном пространстве по модулю скорости v имеет вид:
$$ f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{mv^2}{2kT}}, $$
где:
График этой функции имеет асимметричный вид: он стремится к нулю как при v = 0, так и при v → ∞, достигая максимума при некотором значении скорости. На основе этого распределения определяются три характерные скорости.
Наиболее вероятная скорость
Наиболее вероятная скорость vм.п. — это значение скорости, при котором функция распределения Максвелла достигает максимума. Иначе говоря, это скорость, с которой движется наибольшее число молекул в газе.
Для её нахождения нужно найти максимум функции f(v):
$$ \frac{d f(v)}{dv} = 0. $$
Решая уравнение, получаем:
$$ v_{м.п.} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}. $$
Эта скорость зависит только от температуры и массы молекулы. Чем выше температура — тем выше наиболее вероятная скорость. Чем больше масса молекулы — тем меньше эта скорость.
Средняя скорость
Средняя скорость ⟨v⟩ определяется как математическое ожидание модуля скорости по распределению Максвелла:
⟨v⟩ = ∫0∞vf(v) dv.
Вычисление интеграла даёт:
$$ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}. $$
Эта скорость всегда больше наиболее вероятной:
⟨v⟩ > vм.п.,
поскольку распределение по скоростям асимметрично и «хвост» функции на больших скоростях «тянет» среднее значение вверх.
Среднеквадратичная скорость
Среднеквадратичная скорость vс.к. — это квадратный корень из среднего значения квадрата скорости:
$$ v_{с.к.} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}. $$
По определению:
$$ \langle v^2 \rangle = \int_0^\infty v^2 f(v) \, dv = \frac{3kT}{m}, $$
следовательно:
$$ v_{с.к.} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. $$
Эта скорость связана с кинетической энергией молекул и используется в основном уравнении молекулярно-кинетической теории давления:
$$ p = \frac{1}{3} n m v_{с.к.}^2, $$
где n — концентрация молекул.
Сравнение трёх скоростей
Величины vм.п., ⟨v⟩, vс.к. связаны следующим образом:
$$ v_{м.п.} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}, \quad \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}, \quad v_{с.к.} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}. $$
Для удобства сравнения можно выразить их отношения:
$$ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 1{,}128 \cdot v_{м.п.}, $$
$$ v_{с.к.} = \sqrt{3/2} \cdot v_{м.п.} \approx 1{,}225 \cdot v_{м.п.}. $$
Таким образом:
vм.п. < ⟨v⟩ < vс.к..
Это отражает тот факт, что, хотя большинство молекул движется со скоростями, близкими к наиболее вероятной, некоторые имеют значительно более высокие скорости, увеличивая среднюю и особенно среднеквадратичную скорость.
Температурная зависимость скоростей
Все три скорости зависят от температуры по закону:
$$ v \propto \sqrt{T}. $$
Это означает, что при увеличении температуры в два раза, скорости увеличиваются в $\sqrt{2}$ раз. Такой рост скоростей объясняет усиление давления газа и повышение его внутренней энергии при нагревании.
Пример расчёта
Для одноатомного газа, например гелия (атомная масса 4 г/моль), при температуре T = 300 K:
$$ m = \frac{M}{N_A} = \frac{4 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}}{6{,}022 \cdot 10^{23} \, \text{1/моль}} \approx 6{,}64 \cdot 10^{-27} \, \text{кг}. $$
$$ v_{м.п.} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300}{6{,}64 \cdot 10^{-27}}} \approx 1{,}36 \cdot 10^3 \, \text{м/с}. $$
⟨v⟩ ≈ 1, 08 ⋅ 1, 36 ⋅ 103 ≈ 1, 53 ⋅ 103 м/с.
vс.к. ≈ 1, 23 ⋅ 1, 36 ⋅ 103 ≈ 1, 67 ⋅ 103 м/с.
Физический смысл характеристик
Эти скорости не только имеют разный численный смысл, но и играют различные роли в физическом анализе газов — от расчёта диффузии и теплопроводности до понимания распределения энергии и давления газа на стенки сосуда.