Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Модель идеального газа

В рамках молекулярно-кинетической теории (МКТ) газ рассматривается как совокупность огромного количества упорядоченно не взаимодействующих между собой материальных точек — молекул, совершающих беспорядочное (хаотическое) движение. При этом предполагается, что:

  • молекулы — абсолютно упругие шарики, размеры которых много меньше среднего расстояния между ними;
  • взаимодействие между молекулами проявляется лишь при столкновениях, которые считаются мгновенными и упругими;
  • удары молекул о стенки сосуда также считаются абсолютно упругими;
  • сила тяжести, электромагнитные и иные внешние поля пренебрежимо малы.

Эта идеализация позволяет получить связь между макроскопическими параметрами газа (давлением, температурой, объемом) и микроскопическими характеристиками движения молекул (их масса, скорость, энергия).

Давление как следствие ударов молекул о стенки сосуда

Рассмотрим газ, заключённый в прямоугольном сосуде объема V = LxLyLz, в котором находится N молекул массы m. Каждая молекула при ударе о стенку изменяет свою проекцию импульса на ось x с +mvx до −mvx, передавая стенке импульс Δpx = 2mvx.

Число ударов в секунду, совершаемых одной молекулой по одной стенке, определяется расстоянием между двумя ударами, равным 2Lx, и скоростью вдоль этой оси:

$$ \nu = \frac{v_x}{2L_x} $$

Тогда сила, действующая на стенку от одной молекулы, равна:

$$ F = \Delta p_x \cdot \nu = 2mv_x \cdot \frac{v_x}{2L_x} = \frac{mv_x^2}{L_x} $$

Суммарная сила от всех N молекул будет:

$$ F = \frac{m}{L_x} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2 $$

Давление — это сила, делённая на площадь стенки A = LyLz, т.е.:

$$ P = \frac{F}{A} = \frac{m}{L_x A} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2 = \frac{m}{V} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2 $$

Вводим среднее значение квадрата проекции скорости:

$$ \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2 $$

Тогда:

$$ P = \frac{Nm}{V} \langle v_x^2 \rangle $$

Связь средней проекции скорости и полной средней квадратичной скорости

Поскольку движение молекул в газе изотропно (одинаково во всех направлениях), то:

⟨vx2⟩ = ⟨vy2⟩ = ⟨vz2⟩

а суммарная средняя квадратичная скорость:

⟨v2⟩ = ⟨vx2⟩ + ⟨vy2⟩ + ⟨vz2⟩ = 3⟨vx2⟩

Следовательно:

$$ \langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle $$

Подставим в выражение для давления:

$$ P = \frac{Nm}{V} \cdot \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} \frac{Nm \langle v^2 \rangle}{V} $$

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Таким образом, получаем основное уравнение МКТ:

$$ P = \frac{1}{3} \frac{Nm \langle v^2 \rangle}{V} $$

Это выражение устанавливает прямую связь между макроскопическим параметром — давлением — и микроскопическими характеристиками движения молекул: их массой, числом и средней квадратичной скоростью.

Это же уравнение можно переписать в виде:

$$ PV = \frac{1}{3} Nm \langle v^2 \rangle $$

Связь температуры и средней кинетической энергии

Сравним уравнение МКТ с уравнением состояния идеального газа:

PV = NkT

где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.

Подставляя:

$$ NkT = \frac{1}{3} Nm \langle v^2 \rangle $$

делим обе части на N:

$$ kT = \frac{1}{3} m \langle v^2 \rangle $$

Следовательно, выражение для средней кинетической энергии одной молекулы:

$$ \langle E_{\text{кин}} \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} kT $$

Это фундаментальный результат, показывающий, что температура пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Таким образом, температура — это мера интенсивности хаотического движения молекул.

Физический смысл уравнения

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории показывает, что:

  • Давление газа обусловлено ударами молекул о стенки сосуда.
  • Интенсивность этих ударов зависит от массы молекул, их скорости и концентрации.
  • Температура прямо связана со средней кинетической энергией молекул, а значит — с их средней скоростью.

Выражения для различных форм записи

Для одного моля вещества (в котором N = NA, где NA — число Авогадро), можно выразить давление через молярную массу M = mNA:

$$ PV = \frac{1}{3} N_A m \langle v^2 \rangle = \frac{1}{3} M \frac{\langle v^2 \rangle}{N_A} \Rightarrow PV = \frac{RT}{M} \cdot \frac{1}{3} M \langle v^2 \rangle $$

или использовать массу всего газа Mгаза = Nm:

$$ PV = \frac{1}{3} M_{\text{газа}} \langle v^2 \rangle $$

Применение и ограничения

Основное уравнение МКТ справедливо только для идеального газа, то есть:

  • при низких давлениях и высоких температурах, когда расстояние между молекулами велико, а их взаимодействием можно пренебречь;
  • когда не учитываются силы притяжения и отталкивания между молекулами;
  • когда размеры молекул малы по сравнению со средним межмолекулярным расстоянием.

При высоких давлениях и низких температурах необходимо использовать более точные модели, например, уравнение Ван-дер-Ваальса.

Краткий итоговый вид

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

$$ P = \frac{1}{3} \frac{Nm \langle v^2 \rangle}{V} $$

Связь температуры и кинетической энергии молекул:

$$ \langle E_{\text{кин}} \rangle = \frac{3}{2} kT $$

Эти уравнения лежат в основе описания свойств идеального газа на молекулярном уровне и служат основным мостом между термодинамикой и микроскопической физикой.

Оглавление