Приближение среднего поля (ПСП) — фундаментальный метод теоретической физики, применяемый для упрощения описания взаимодействий в многочастичных системах. Его суть заключается в замене сложного многочастичного взаимодействия эффективным полем, которое каждая частица ощущает со стороны остальных частиц. Это приближение делает возможным аналитическое исследование систем, в которых точное решение невозможно из-за огромного числа степеней свободы.
В рамках молекулярной физики приближение среднего поля используется для описания как классических, так и квантовых систем, включая жидкости, твердые тела, плазмы, а также при анализе фазовых переходов и критических явлений.
Пусть имеется система из N частиц, взаимодействующих по потенциалу U(r1, …, rN). Задача — определить распределение плотности или поведение каждой частицы в присутствии всех остальных. Однако решение уравнений движения или уравнений статистической механики для такой системы становится непосильным при больших N.
В приближении среднего поля взаимодействие других частиц заменяется усреднённым потенциалом:
Uср(r) = ∫ρ(r′) ϕ(|r − r′|) dr′
где ρ(r′) — пространственная плотность частиц, а ϕ — потенциальная энергия взаимодействия между двумя частицами.
Таким образом, каждая частица ощущает не индивидуальное взаимодействие с каждой из остальных, а совокупное влияние, создающее эффективное поле.
В статистической механике равновесное распределение системы с учётом приближения среднего поля имеет форму:
$$ f(\mathbf{r}, \mathbf{p}) = A \exp\left[-\beta \left( \frac{p^2}{2m} + U_{\text{ср}}(\mathbf{r}) \right) \right] $$
где A — нормировочный множитель, β = 1/kT, Uср зависит от плотности, которая, в свою очередь, определяется через f, что делает задачу самосогласованной.
Это приближение лежит в основе метода Хартри (в квантовом случае — Хартри-Фока) и широко применяется в теории жидкостей и плазмы.
В модели Изинга приближение среднего поля позволяет перейти от сложного взаимодействия спинов к уравнению:
$$ M = \tanh\left( \frac{J z M}{kT} \right) $$
где M — намагниченность, J — постоянная обменного взаимодействия, z — число ближайших соседей. Это уравнение нелинейно и имеет нетривиальное решение при температуре ниже критической, что описывает фазовый переход второго рода.
Поскольку поле, действующее на частицу, зависит от распределения частиц, то приближение среднего поля приводит к необходимости решения самосогласованного уравнения. Например, в газе с взаимодействием типа Леннард-Джонса можно выразить химический потенциал через средний потенциал, который зависит от плотности:
μ = μид(T, ρ) + ∫ρ(r′)ϕ(|r − r′|)dr′
Такое представление позволяет вывести модифицированные уравнения состояния, описывающие реальные жидкости, отличающиеся от идеального газа.
В теории жидкостей приближение среднего поля используется в рамках теории функционала плотности (DFT), где свободная энергия записывается как функционал от плотности:
$$ \mathcal{F}[\rho] = \mathcal{F}_{\text{id}}[\rho] + \frac{1}{2} \iint \rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}') \phi(|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|) \, d\mathbf{r} \, d\mathbf{r}' $$
Первое слагаемое — свободная энергия идеального газа, второе — вклад взаимодействия. Это выражение позволяет получить устойчивые профили плотности, описывающие, например, жидко-паровой интерфейс, капли и поверхности раздела фаз.
Приближение среднего поля успешно в ситуациях, где флуктуации малы, а взаимодействие носит дальнодействующий характер. Однако оно не учитывает корреляции между частицами, что становится критическим рядом с фазовыми переходами и в сильно коррелированных системах.
В частности, вблизи критической точки флуктуации порядка становятся значительными, и предсказания приближения среднего поля (например, критические индексы) не совпадают с экспериментом. В этих случаях необходимо учитывать более точные подходы, такие как теория возмущений, теория Ренормгруппы и численные методы.
В физике плазмы приближение среднего поля лежит в основе теории Дебая–Хюккеля. Электростатическое взаимодействие между заряженными частицами экранируется облаком противоположных зарядов, создавая эффективное поле:
$$ \phi(r) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \exp\left( -\frac{r}{r_D} \right) $$
где rD — радиус Дебая. Это приближение позволяет получить аналитические выражения для свободной энергии, давления и коэффициента экранирования.
В ионных жидкостях и электролитах аналогичные подходы позволяют описывать структуры двойных электрических слоёв и свойства электролитических растворов.
В квантовых системах приближение среднего поля применяется в методах типа Хартри и Хартри–Фока. Оно позволяет заменить взаимодействие электронов в атоме или твердом теле на эффективный потенциал, зависящий от распределения электронной плотности:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V_{\text{ядро}}(\mathbf{r}) + V_{\text{ср}}(\mathbf{r}) \right] \psi_i(\mathbf{r}) = \epsilon_i \psi_i(\mathbf{r}) $$
где Vср — потенциальное поле, создаваемое остальными электронами. Это приближение даёт разумное описание атомной структуры и лежит в основе более точных методов, таких как DFT и пост-Хартри–Фоковские методы.
Приближение среднего поля позволяет описывать фазовые переходы второго рода, вводя порядок параметров (например, намагниченность, плотность и т.п.) и записывая свободную энергию как функционал от него:
$$ F(M) = F_0 + \frac{a}{2} M^2 + \frac{b}{4} M^4 - h M $$
Минимизация такой энергии по M даёт уравнение состояния и предсказывает фазовый переход при a = 0, т.е. при критической температуре. Однако количественные характеристики, такие как критические индексы, в этом приближении не соответствуют реальности и требуют более точных подходов.
Приближение среднего поля является универсальным инструментом молекулярной и статистической физики, позволяющим получать качественные и количественные оценки свойств сложных систем. Оно применимо в самых разных областях: от газа и жидкостей до магнитных и плазменных систем, от макроскопических свойств до квантово-механического описания. Несмотря на свои ограничения, этот метод остаётся краеугольным камнем аналитических подходов к описанию материи на микроскопическом уровне.