Спектральная плотность флуктуаций

Понятие спектральной плотности флуктуаций

При описании флуктуационных явлений в молекулярной физике важнейшую роль играет представление о спектральной плотности флуктуаций — функции, определяющей распределение мощности случайного процесса по частотам. Это понятие тесно связано с автокорреляционными функциями и лежит в основе экспериментального анализа флуктуаций при помощи спектроскопических методов (например, анализа шума или рассеяния света).

Пусть A(t) — некоторая флуктуирующая физическая величина, например, компонента скорости, плотности, поляризации или магнитной восприимчивости. Для стационарного случайного процесса важно изучать не только среднеквадратичное значение, но и характер временной корреляции между значениями в разные моменты времени.

Автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция величины A(t) определяется как:

ΦA(τ) = ⟨A(t)A(t + τ)⟩,

где угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю или по времени, если выполняется эргодичность. Автокорреляционная функция является центральной характеристикой временной структуры флуктуационного процесса.

Для стационарных процессов автокорреляционная функция зависит только от разности времен τ, а не от абсолютного времени t.

Определение спектральной плотности

Спектральная плотность SA(ω) определяется как косинусное преобразование автокорреляционной функции (или, в общем случае, преобразование Фурье):

SA(ω) = ∫−∞+∞ΦA(τ)e−iωτdτ.

Так как ΦA(τ) — вещественная и чётная функция, SA(ω) тоже вещественна и чётна, т.е. SA(−ω) = SA(ω).

Обратное преобразование:

$$ \Phi_A(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_A(\omega) e^{i \omega \tau} d\omega. $$

Таким образом, автокорреляционная функция и спектральная плотность представляют собой пару взаимных преобразований Фурье.

Физический смысл спектральной плотности

Спектральная плотность SA(ω) характеризует распределение энергии флуктуаций по частотам. Интеграл от спектральной плотности по всем частотам даёт дисперсию случайной величины:

$$ \langle A^2 \rangle = \Phi_A(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_A(\omega) d\omega. $$

Таким образом, спектральная плотность играет ту же роль в частотной области, что и автокорреляционная функция во временной.

Примеры спектральных плотностей

  1. Белый шум Для белого шума автокорреляционная функция представляет собой дельта-функцию:

    Φ(τ) = 2Dδ(τ),

    где D — коэффициент шумовой интенсивности. Соответственно, спектральная плотность постоянна:

    S(ω) = 2D.

  2. Экспоненциальный спад корреляции Пусть

    Φ(τ) = ⟨A2⟩e−|τ|/τc,

    где τc — характерное время корреляции. Тогда спектральная плотность имеет лоренцеву форму:

    $$ S(\omega) = 2 \langle A^2 \rangle \frac{\tau_c}{1 + \omega^2 \tau_c^2}. $$

    Такая форма характерна, например, для броуновского движения с трением.

  3. Случай гармонического осциллятора Если флуктуации обусловлены гармоническими колебаниями с затуханием, спектральная плотность будет иметь резонансную форму:

    $$ S(\omega) = \frac{C}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}, $$

    где ω0 — резонансная частота, γ — коэффициент затухания, C — нормировочная константа.

Связь с теоремой Флуктуационно-диссипационного соотношения

Спектральная плотность непосредственно связана с коэффициентами отклика системы. Согласно флуктуационно-диссипационной теореме, спектральная плотность флуктуаций в равновесной системе пропорциональна мнимой части комплексной восприимчивости (или проводимости), которая описывает линейный отклик на внешнее воздействие. В частотной области это соотношение записывается как:

$$ S_A(\omega) = \frac{2k_B T}{\omega} \operatorname{Im} \chi(\omega), $$

где χ(ω) — отклик на переменное воздействие, T — температура, kB — постоянная Больцмана.

Практические методы измерения спектральной плотности

Измерение спектральной плотности флуктуаций возможно с помощью различных экспериментальных методов:

  • Спектроскопия рассеяния света (например, спектроскопия комбинационного рассеяния или спектроскопия вынужденного рассеяния) используется для изучения флуктуаций плотности, скорости или температуры.
  • Методы шумовой спектроскопии применяются для исследования электрических и магнитных флуктуаций в материалах.
  • Нейтронная и рентгеновская спектроскопия позволяют исследовать структурные и динамические флуктуации в кристаллах и жидкостях.

Эти методы основываются на измерении интенсивности рассеянного сигнала как функции частоты и волнового вектора, что позволяет получить двумерную спектральную плотность S(q, ω), где q — волновой вектор.

Спектральная плотность как функция волнового вектора и частоты

В пространственно неоднородных системах спектральная плотность зависит не только от частоты, но и от пространственного масштаба флуктуаций. В этом случае вводится спектральная плотность двумерной автокорреляционной функции:

S(q, ω) = ∫d3r∫dt ⟨A(0, 0)A(r, t)⟩ei(ωt − q ⋅ r).

Такой подход особенно полезен для анализа флуктуаций в жидкостях, где волновой вектор q определяет масштаб плотностных волн, а ω — их временную динамику. Пик спектральной плотности S(q, ω) часто свидетельствует о наличии квазичастичных возбуждений — фононов, спинонов и т. п.

Нормировка и симметрии

Спектральная плотность может нормироваться по-разному в зависимости от конкретной области физики (например, с учетом симметрий, плотности состояния, использования одностороннего или двустороннего спектра). Важно учитывать, используется ли полная спектральная плотность (от −∞ до +∞) или односторонняя (от 0 до +∞), особенно при практическом вычислении дисперсий.

Роль в теории линейного отклика

В рамках линейной откликной теории спектральная плотность тесно связана с коэффициентами переноса и кинетическими уравнениями. Например, в электродинамике плотность тока и электрическое поле связаны через импеданс, а флуктуации тока характеризуются спектральной плотностью шума.

Понимание формы и свойств спектральной плотности позволяет интерпретировать сложные динамические процессы, происходящие на микроуровне в физических системах, и служит основой для построения теории неравновесных флуктуаций.

Оглавление