Средняя длина свободного пробега молекул

Определение и физический смысл

Средняя длина свободного пробега — это среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами. Она является одной из ключевых характеристик кинетической теории газов, отражающей микроскопическую структуру движения частиц. Эта величина напрямую связана с плотностью газа, его температурой и характерными размерами молекул.

Поскольку в идеальном газе молекулы рассматриваются как материальные точки, не взаимодействующие друг с другом вне моментов столкновений, то в реальном газе конечные размеры молекул и характер их взаимодействий становятся определяющими факторами, влияющими на длину свободного пробега.

Модельные представления

Для количественного описания длины свободного пробега принято рассматривать модель, в которой:

  • молекулы газа представляются как упругие твердые сферы радиуса r;
  • столкновения считаются мгновенными и центрально-упругими;
  • молекулы движутся хаотически со средними тепловыми скоростями;
  • молекулярная концентрация n (число молекул в единице объема) известна.

При этих допущениях можно вывести выражение для средней длины свободного пробега λ.

Геометрическая модель столкновений

Рассмотрим молекулу, движущуюся с некоторой средней скоростью v̄ в среде из неподвижных молекул. Если радиус молекулы равен r, то эффективный диаметр столкновения d = 2r, и, соответственно, эффективное сечение столкновения:

σ = πd2 = 4πr2.

За малый промежуток времени Δt молекула, двигаясь со скоростью v̄, «выметает» объём цилиндра:

V = σv̄Δt.

В этом объёме содержится в среднем nV = nσv̄Δt молекул, с которыми может произойти столкновение. Среднее число столкновений в единицу времени:

Z = nσv̄.

Тогда среднее время между столкновениями:

$$ \tau = \frac{1}{Z} = \frac{1}{n \sigma \bar{v}}, $$

а средняя длина свободного пробега:

$$ \lambda = \bar{v} \tau = \frac{1}{n \sigma}. $$

Однако, поскольку все молекулы находятся в движении, а не только одна из них, следует учесть относительную скорость столкновений. В среднем относительная скорость между двумя молекулами составляет $\bar{v}_{\text{отн}} = \sqrt{2}\, \bar{v}$. Тогда:

$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma}. $$

Окончательная формула:

$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \, n \, \pi d^2}, $$

где:

  • λ — средняя длина свободного пробега,
  • n — концентрация молекул,
  • d — эффективный диаметр молекул.

Связь с параметрами состояния газа

Используя уравнение состояния идеального газа в форме:

$$ n = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}, $$

где:

  • p — давление газа,
  • T — абсолютная температура,
  • k — постоянная Больцмана,

можно выразить длину свободного пробега как функцию макроскопических параметров:

$$ \lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}. $$

Из этой формулы видно, что длина свободного пробега увеличивается с ростом температуры и уменьшается с увеличением давления или диаметра молекул.

Численные значения

Для воздуха при нормальных условиях (давление p = 1.01 ⋅ 105 Па, температура T = 273 К, диаметр молекул d ≈ 3.7 ⋅ 10−10 м):

λ ≈ 6.6 ⋅ 10−8 м,

что соответствует примерно 66 нм — величина, сравнимая с размерами крупных молекул или мелких наночастиц.

Физическая интерпретация и следствия

Средняя длина свободного пробега — важнейший параметр при анализе процессов переноса (теплопроводность, вязкость, диффузия) в газах. Она определяет область применимости непрерывных моделей среды: если характерные размеры задачи сравнимы с λ, то нужно использовать молекулярно-кинетический или даже статистико-механический подход (например, уравнение Больцмана).

Число Кнудсена:

$$ \text{Kn} = \frac{\lambda}{L}, $$

где L — характерный масштаб системы, определяет границу применимости гидродинамического описания. Если Kn ≪ 1, газ можно рассматривать как непрерывную среду. Если Kn ∼ 1 или больше, необходимо учитывать молекулярную структуру газа.

Зависимость от давления и температуры

Поведение длины свободного пробега при изменении условий может быть проанализировано с использованием выражения $\lambda \propto \frac{T}{p}$. Отсюда:

  • при изотермическом сжатии (T = const) увеличение давления приводит к уменьшению λ;
  • при изобарическом нагревании (p = const) повышение температуры увеличивает λ;
  • при адиабатическом сжатии длина свободного пробега убывает быстрее, чем при изотермическом.

Влияние на процессы в газе

  • Диффузия: коэффициент диффузии пропорционален λ, следовательно, при малом давлении диффузия идет быстрее.
  • Теплопроводность и вязкость: в идеальных газах также пропорциональны длине свободного пробега.
  • Условия вакуума: в техническом вакууме длина свободного пробега может достигать миллиметров и даже сантиметров, что принципиально меняет характер течения газа — от ламинарного к молекулярному.

Обобщения и уточнения

В более точных теориях учитываются:

  • распределение скоростей молекул (через интегралы по распределению Максвелла);
  • неупругость столкновений;
  • отклонения от формы сферических молекул;
  • влияние взаимодействий при высоких давлениях (модификации уравнения состояния).

Тем не менее, базовая формула длины свободного пробега остается краеугольным камнем молекулярной физики и широко применяется в прикладных и теоретических расчетах.

Оглавление