Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

Поступательное движение молекул и его роль в молекулярной физике

В идеальной газовой модели движение молекул рассматривается как хаотическое, беспорядочное, и основным типом движения является поступательное. Каждая молекула газа перемещается в пространстве, сталкиваясь с другими молекулами и стенками сосуда. Эти столкновения упорядочивают статистическое поведение системы и определяют её макроскопические параметры, такие как давление и температура.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул — фундаментальная характеристика идеального газа, связывающая микроскопическое описание системы (движение отдельных молекул) с макроскопическими термодинамическими параметрами.

Вывод выражения для средней кинетической энергии

Рассмотрим идеальный газ, содержащий большое число молекул N, находящихся в объеме V при температуре T. В рамках молекулярно-кинетической теории давление, оказываемое газом на стенки сосуда, может быть связано с кинетической энергией движения молекул. Для вывода воспользуемся следующим рассуждением.

Пусть одна молекула массы m имеет проекцию скорости на ось x, равную v_x. При столкновении с вертикальной стенкой она изменяет импульс на Δp_x = −2mv_x. За время Δt число ударов о стенку от этой молекулы равно $\frac{v_x \Delta t}{2L}$, где L — длина сосуда вдоль оси x. Тогда средняя сила от одной молекулы:

$$ F_x = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x \cdot v_x}{2L} = \frac{mv_x^2}{L} $$

Обобщая на все молекулы и усредняя по всем направлениям, получаем давление:

$$ p = \frac{1}{3} \cdot \frac{Nm\langle v^2 \rangle}{V} $$

Сравнивая это выражение с уравнением состояния идеального газа:

pV = NkT

где k — постоянная Больцмана, получаем:

$$ \frac{1}{3} Nm \langle v^2 \rangle = NkT \quad \Rightarrow \quad \langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{3}{2}kT $$

Таким образом, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна:

$$ \boxed{\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT} $$

Это выражение имеет ключевое значение: оно показывает, что температура является мерой средней кинетической энергии молекул газа.

Физический смысл зависимости от температуры

Температура газа — это не просто макроскопический параметр, а количественная мера средней энергии движения его микрочастиц. При повышении температуры увеличивается скорость движения молекул, и, следовательно, их кинетическая энергия. Важно отметить, что температура в абсолютной шкале Кельвина не может быть отрицательной, так как при T = 0 кинетическая энергия стремится к нулю — это соответствует абсолютному нулю температуры, при котором прекращается поступательное движение молекул.

Постоянная Больцмана и её роль

Постоянная Больцмана k = 1, 38 ⋅ 10⁻²³ Дж/К играет роль коэффициента пропорциональности между температурой и средней кинетической энергией. Это фундаментальная физическая постоянная, устанавливающая связь между микромиром и макромиром. Использование k позволяет перевести энергетические характеристики движения молекул в термины, удобные для измерения и наблюдения в макроскопической термодинамике.

Анализ вектора скорости и степеней свободы

Поскольку молекулы в газе движутся в трёх измерениях, вся энергия равномерно распределяется между тремя поступательными степенями свободы — по осям x, y, z. Средняя кинетическая энергия на одну степень свободы:

$$ \langle E_k^{(1)} \rangle = \frac{1}{2}kT $$

Соответственно, для трех степеней свободы суммарная энергия:

$$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $$

Это соотношение соответствует теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы: каждая степень свободы поступательного движения получает в среднем энергию $\frac{1}{2}kT$.

Среднеквадратичная скорость молекул

Средняя кинетическая энергия связана со среднеквадратичной скоростью v_ср.кв.:

$$ \frac{1}{2}m v_{\text{ср.кв.}}^2 = \frac{3}{2}kT \quad \Rightarrow \quad v_{\text{ср.кв.}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} $$

Это позволяет оценить характерные скорости движения молекул при различных температурах. Например, при комнатной температуре (T ≈ 300 К) молекулы водорода движутся со скоростью порядка  ∼ 1800 м/с.

Зависимость от массы молекулы

Из выражения для v_ср.кв. видно, что чем легче молекула, тем быстрее она движется при одной и той же температуре. Это объясняет, почему, например, молекулы гелия распространяются в воздухе быстрее, чем молекулы кислорода. Однако, несмотря на различия в скоростях, средняя кинетическая энергия всех молекул при одинаковой температуре одинакова — она определяется только температурой, а не массой частиц.

Применение к одноатомным и многоатомным газам

Для одноатомных идеальных газов (например, гелий, аргон) вся внутренняя энергия обусловлена исключительно поступательным движением. Но в случае двух- и многоатомных молекул появляется возможность вращения и колебаний. Эти дополнительные степени свободы также получают энергию при термодинамическом равновесии, что влияет на теплоёмкость газа.

Однако при невысоких температурах часть этих степеней свободы может быть “заморожена”, и тогда даже многоатомные молекулы ведут себя, как одноатомные с тремя активными поступательными степенями. Только при достаточно высоких температурах начинают “включаться” вращательные и колебательные движения.

Связь с внутренней энергией идеального газа

Поскольку каждая молекула имеет в среднем энергию $\frac{3}{2}kT$, внутренняя энергия идеального одноатомного газа, содержащего N молекул, равна:

$$ U = N \cdot \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}NkT $$

С учётом N = nN_A, где n — количество вещества в молях, а N_A — число Авогадро:

$$ U = \frac{3}{2}nRT $$

где R = N_Ak — универсальная газовая постоянная. Это выражение лежит в основе первого начала термодинамики для идеального газа.

Экспериментальные подтверждения

Различные физические опыты, в частности, исследование распределения молекул по скоростям (распределение Максвелла), измерения давления и температуры, теплоемкостей и т.д., подтверждают, что выражение $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$ справедливо и точно описывает кинетическую энергию молекул при термодинамическом равновесии. Особенно хорошо эта формула работает для разреженных газов, поведение которых близко к идеальному.

Роль в понимании природы температуры

Пожалуй, главное значение этого результата — в глубоком переосмыслении самой температуры как физической величины. Температура — это не просто параметр состояния, а средняя кинетическая энергия поступательного движения микрочастиц вещества. Это фундаментальное представление лежит в основе всей молекулярной физики и термодинамики.