Статистика Бозе-Эйнштейна для бозонов

Распределение Бозе — Эйнштейна: статистическое описание бозонов

Квантовая статистика применяется к системам, состоящим из неразличимых частиц, поведение которых определяется законами квантовой механики. Частицы с целым спином (0, 1, 2, …) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами. Классическими представителями бозонов являются фотоны, кванты звука (фононы), мезоны, атомы гелия-4 и др.

Особенностью бозонов является возможность неограниченного числа частиц в одном квантовом состоянии. Это ведёт к качественно иному распределению по энергиям по сравнению с фермионами, для которых действует принцип запрета Паули.

Формула распределения Бозе — Эйнштейна

Для системы бозонов в тепловом равновесии, при заданной температуре T, распределение по среднему числу частиц в квантовом состоянии с энергией ε имеет вид:

$$ \langle n(\varepsilon) \rangle = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T} - 1} $$

где:

  • ⟨n(ε)⟩ — среднее число частиц в состоянии с энергией ε;
  • μ — химический потенциал (для бозонов μ ≤ 0);
  • kB — постоянная Больцмана;
  • T — абсолютная температура.

Это распределение учитывает тот факт, что вероятность заселения квантового уровня возрастает с увеличением числа уже находящихся на нём частиц — бозе-усиление.

Ограничения на химический потенциал

В отличие от фермионов, химический потенциал бозонов не может превышать минимальную энергию системы. Для систем с непрерывным спектром (например, свободный газ бозонов) обычно предполагается ε0 = 0, тогда условие:

μ < ε0 = 0

При температуре, стремящейся к нулю, μ → 0. При дальнейшем понижении температуры наступает ситуация, при которой система не может быть описана только интегралом по непрерывному спектру. Происходит конденсация Бозе — Эйнштейна.

Общее число частиц в системе

Общее число бозонов в системе выражается через сумму по всем состояниям:

$$ N = \sum_i \langle n_i \rangle = \sum_i \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_B T} - 1} $$

Для непрерывного спектра:

$$ N = \int_0^\infty \frac{g(\varepsilon) d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T} - 1} $$

где g(ε) — плотность состояний.

Плотность состояний для свободного бозонного газа

Для идеального газа в трехмерной области объема V, плотность состояний имеет вид:

$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{4\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \varepsilon^{1/2} $$

Таким образом, выражение для числа частиц становится:

$$ N = \frac{V}{4\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \int_0^\infty \frac{\varepsilon^{1/2} d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/k_B T} - 1} $$

Это интеграл типа:

$$ \int_0^\infty \frac{x^{s-1} dx}{e^{x - \alpha} - 1} = \Gamma(s) \, \text{Li}_s(e^\alpha) $$

где Lis — полилогарифм.

Критическая температура конденсации Бозе — Эйнштейна

При некоторой температуре Tc система перестаёт вмещать все частицы в возбуждённых состояниях. Избыточные бозоны начинают заполнять основное квантовое состояние (с ε = 0), образуя макроскопическое скопление:

N = N0 + Nexc

Максимальное значение Nexc при μ → 0 даёт выражение для критической температуры:

$$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} $$

где ζ(3/2) ≈ 2.612, а n = N/V — концентрация частиц.

Поведение ниже критической температуры

При T < Tc доля частиц в основном состоянии растёт:

$$ \frac{N_0}{N} = 1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^{3/2} $$

Это поведение указывает на фазовый переход в системе — появление макроскопического квантового объекта, когерентного по фазе. Такой переход не сопровождается скрытой теплотой, но проявляется в аномальных термодинамических свойствах, например, скачке теплоёмкости.

Давление и термодинамические функции бозонного газа

Давление идеального бозонного газа можно выразить через интеграл по энергиям:

$$ P = \frac{1}{3V} \sum_i \langle n_i \rangle p_i v_i $$

Для непрерывного спектра и при T > Tc:

$$ P = \frac{k_B T}{\lambda_T^3} g_{5/2}(z) $$

где:

  • $\lambda_T = \sqrt{ \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} }$ — термическая длина волны де Бройля,
  • $g_{s}(z) = \sum_{l=1}^\infty \frac{z^l}{l^s}$ — полилогарифм,
  • z = eμ/kBT < 1.

Особенности теплоёмкости

Теплоёмкость CV ведёт себя неанализируемо в окрестности Tc. При высоких температурах она возрастает, как в классическом газе, но при T → Tc− проявляется максимум — аналог критической точки:

  • при T > Tc: CV ∼ T3/2,
  • при T < Tc: рост числа частиц в основном состоянии не влечёт увеличения энергии.

Максимум теплоёмкости служит экспериментальным указанием на начало конденсации Бозе — Эйнштейна.

Примеры реализации: фотоны, атомы, квазичастицы

Фотонный газ: для фотонов μ = 0 всегда, так как их число не сохраняется. Поэтому фотонный газ (например, в полости) не испытывает Бозе-конденсации, но подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна.

Фононы и магноны: также не сохраняются по числу и имеют μ = 0.

Атомный газ: в лабораторных условиях удалось реализовать Бозе-конденсацию в разреженных облаках щелочных атомов (Na, Rb, Li) при температурах порядка наноскольких сотен нанокельвинов, используя магнитные и оптические ловушки.

Когерентные свойства и квантовая интерференция

Конденсат Бозе — Эйнштейна представляет собой макроскопическое квантовое состояние, аналог лазера для материи. Частицы в конденсате имеют общую фазу, что проявляется в интерференционных опытах и в сверхтекучести, например, жидкого гелия-4. Это указывает на фундаментальную важность статистики Бозе — Эйнштейна для описания коллективных квантовых явлений в физике конденсированного состояния и атомной физике.

Оглавление