Распределение Ферми–Дирака и свойства фермионов в статистической физике
Фермионами называются частицы с полуцелым спином (например, $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ и т. д.), подчиняющиеся принципу Паули: в одной квантовой системе не может находиться более одной частицы в каждом квантовом состоянии. К числу фермионов относятся электроны, протоны, нейтроны и целый ряд других частиц. Их квантовая статистика отличается от бозонов (частиц с целым спином), и описывается распределением Ферми–Дирака, в отличие от распределения Бозе–Эйнштейна для бозонов.
Важнейшая особенность фермионов — невозможность заселения одного и того же квантового состояния двумя идентичными частицами, что лежит в основе электронной структуры атомов, электронных свойств металлов и ряда других фундаментальных явлений.
Рассмотрим систему, состоящую из большого числа не взаимодействующих фермионов, находящуюся в термодинамическом равновесии при температуре T и химическом потенциале μ. В рамках статистики Гранд-канонического ансамбля вероятность f(ε) того, что квантовое состояние с энергией ε занято, имеет вид:
$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{\exp\left(\frac{\varepsilon - \mu}{k_B T}\right) + 1} $$
где:
Это выражение представляет собой функцию распределения Ферми–Дирака.
В пределе абсолютного нуля температуры функция распределения вырождается в ступенчатую функцию:
$$ f(\varepsilon) = \begin{cases} 1, & \varepsilon < \varepsilon_F \\ 0, & \varepsilon > \varepsilon_F \end{cases} $$
где εF = μ(T = 0) — энергия Ферми.
Это означает, что при нулевой температуре все квантовые состояния с энергией меньше εF заполнены, а выше — пусты.
При конечной температуре распределение сглаживается вблизи εF: вероятность занятости уровней выше εF становится отличной от нуля, а ниже — менее чем единичной. Тем не менее, даже при комнатной температуре для металлов kBT ≪ εF, и основная масса электронов остается вблизи энергии Ферми.
Для конкретного примера — идеального ферми-газа в трехмерном объеме V, состоящего из невзаимодействующих фермионов массы m, можно определить энергию Ферми через концентрацию частиц $n = \frac{N}{V}$:
$$ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$
где ℏ — приведённая постоянная Планка.
Соответствующая плотность состояний g(ε) в трехмерном случае равна:
$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{\varepsilon} $$
Функция распределения f(ε) в комбинации с g(ε) определяет макроскопические характеристики системы: число частиц, внутреннюю энергию и теплоемкость.
Число частиц определяется интегралом:
N = ∫0∞g(ε)f(ε) dε
Аналогично, полная внутренняя энергия:
U = ∫0∞εg(ε)f(ε) dε
В приближении нулевой температуры эти интегралы можно вычислить точно, что даёт, например, среднюю энергию частицы:
$$ \langle \varepsilon \rangle = \frac{3}{5} \varepsilon_F $$
Одним из классических результатов статистики Ферми–Дирака является выражение для теплоемкости электронного газа при низких температурах. В отличие от классического предсказания (теплоемкость пропорциональна T), здесь теплоемкость:
CV ∼ γT
где γ — коэффициент, пропорциональный числу состояний на уровне Ферми. Это линейное поведение подтверждается экспериментально, в частности в металлах при низких температурах, где вклад электронного газа легко отделяется от фононного.
Для невзаимодействующего ферми-газа можно определить давление даже при абсолютном нуле температуры. В этом случае давление не обращается в ноль, а определяется исключительно квантовой природой частиц:
$$ P = \frac{2}{5} n \varepsilon_F $$
Такое давление называется вырожденным давлением и играет ключевую роль в астрофизике — например, в устойчивости белых карликов и нейтронных звёзд.
При увеличении температуры химический потенциал μ уменьшается. Его поведение можно найти из условия нормировки (фиксированное N), численно решая уравнение:
n = ∫0∞g(ε)f(ε, μ) dε
В пределе T ≫ εF химический потенциал становится отрицательным и понижается в соответствии с приближением к классическому пределу (распределению Максвелла–Больцмана), где:
$$ f(\varepsilon) \approx \exp\left( -\frac{\varepsilon - \mu}{k_B T} \right) $$
Статистика Ферми–Дирака плавно переходит в классическую, когда f(ε) ≪ 1, то есть, когда все уровни слабо населены:
$$ \exp\left( \frac{\varepsilon - \mu}{k_B T} \right) \gg 1 \quad \Rightarrow \quad f(\varepsilon) \approx \exp\left( -\frac{\varepsilon - \mu}{k_B T} \right) $$
Это — распределение Максвелла–Больцмана. Таким образом, классическая статистика — это лишь предельный случай квантовой статистики при высоких температурах и малой плотности.
Электроны в металле образуют ферми-газ, находящийся в потенциальной яме (приблизительно прямоугольной формы). Распределение Ферми–Дирака определяет электронную плотность, уровень Ферми и электронный вклад в теплоемкость и проводимость.
В полупроводниках заполнение энергетических уровней валентной и проводящей зон определяется функцией Ферми–Дирака. Поведение f(ε) при различных температурах играет ключевую роль в определении концентрации носителей заряда.
Вырожденное давление фермионов поддерживает белые карлики (электронный газ) и нейтронные звёзды (нейтронный газ) от гравитационного сжатия, что было впервые показано Чандрасекаром.
Функция распределения:
$$ f(\varepsilon) = \frac{1}{\exp\left( \frac{\varepsilon - \mu}{k_B T} \right) + 1} $$
Энергия Ферми:
$$ \varepsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( 3\pi^2 n \right)^{2/3} $$
Плотность состояний в 3D:
$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{\varepsilon} $$
Теплоемкость при низких T:
CV ∝ T
Давление при T = 0:
$$ P = \frac{2}{5} n \varepsilon_F $$
Таким образом, распределение Ферми–Дирака даёт точное описание поведения статистически большого числа фермионов, лежащее в основе современной молекулярной физики, физики твёрдого тела, астрофизики и квантовой теории конденсированных сред.