Газ состоит из огромного количества молекул, находящихся в беспорядочном тепловом движении. Каждая молекула движется прямолинейно и равномерно до столкновения с другой молекулой или со стенкой сосуда. При столкновении со стенками сосуда молекулы изменяют импульс, и по третьему закону Ньютона стенки сосуда испытывают силу со стороны молекул. Совокупность таких многочисленных микроскопических ударов приводит к возникновению давления газа на стенки сосуда.
Для количественного описания давления в рамках молекулярно-кинетической теории необходимо рассмотреть простейшую модель — идеального газа, в которой молекулы считаются материальными точками, не взаимодействующими друг с другом, кроме мгновенных упругих столкновений.
Рассмотрим кубический сосуд объёмом V = L3, содержащий N одинаковых молекул массы m. Пусть одна из молекул движется со скоростью v⃗ = (vx, vy, vz).
Пусть молекула ударяется о стенку, перпендикулярную оси x. При упругом столкновении она изменяет проекцию скорости на ось x с vx на −vx. Изменение импульса за один удар:
Δpx = −mvx − (mvx) = −2mvx
Период между ударами об одну и ту же стенку:
$$ \Delta t = \frac{2L}{v_x} $$
Средняя сила, с которой одна молекула действует на стенку:
$$ F = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{2mv_x}{2L/v_x} = \frac{mv_x^2}{L} $$
Давление от одной молекулы:
$$ p_1 = \frac{F}{S} = \frac{mv_x^2}{L \cdot L^2} = \frac{mv_x^2}{V} $$
Для всего газа (учитывая N молекул и усреднение по всем направлениям):
$$ p = \frac{1}{V} \sum_{i=1}^{N} m v_{xi}^2 $$
Предполагая изотропность движения (средние квадраты компонент скоростей равны):
$$ \langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle $$
Тогда давление выражается как:
$$ p = \frac{N m \langle v_x^2 \rangle}{V} = \frac{1}{3} \frac{N m \langle v^2 \rangle}{V} $$
Средняя кинетическая энергия одной молекулы:
$$ \langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle $$
Подставляя в выражение для давления:
$$ p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \langle E_k \rangle $$
Обозначив концентрацию молекул как $n = \frac{N}{V}$, получим фундаментальную формулу молекулярно-кинетической теории:
$$ p = \frac{2}{3} n \langle E_k \rangle $$
Эта формула устанавливает прямую пропорциональность между давлением газа и средней кинетической энергией его молекул. Таким образом, давление — это макроскопическая величина, которая напрямую отражает среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул.
Экспериментально установлено, что средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна абсолютной температуре:
$$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T $$
где k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура в кельвинах.
Следовательно, давление можно выразить как:
p = nkT
Это выражение называется уравнением состояния идеального газа в молекулярно-кинетической форме, и оно полностью эквивалентно макроскопической форме:
pV = NkT
или, с учетом количества вещества $\nu = \frac{N}{N_A}$:
pV = νRT
где R = kNA — универсальная газовая постоянная.
Согласно молекулярно-кинетической теории, давление возникает как результат суммарного воздействия молекул, непрерывно сталкивающихся со стенками. Чем выше температура, тем больше скорость движения молекул, тем чаще и сильнее они ударяются о стенки — следовательно, тем выше давление.
Из формулы:
$$ p = \frac{2}{3} n \langle E_k \rangle $$
видно, что при постоянной концентрации давление прямо пропорционально средней кинетической энергии, а значит — и температуре. Это объясняет такие явления, как повышение давления при нагревании газа в замкнутом объёме.
Из формулы:
$$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T,\quad n = \frac{N}{V} $$
находим полную кинетическую энергию всех молекул в единице объёма (энергетическую плотность):
$$ u = n \langle E_k \rangle = \frac{3}{2} n k T $$
Связь между энергетической плотностью и давлением:
$$ p = \frac{2}{3} u $$
Эта зависимость справедлива для идеального одноатомного газа и подтверждает, что давление — это форма проявления внутренней энергии в виде механического воздействия на стенки сосуда.
Рассмотренная модель применима к разреженным газам, в которых можно пренебречь взаимодействием между молекулами. При повышении плотности или понижении температуры молекулы начинают взаимодействовать сильнее, и вклад потенциальной энергии становится значительным. Тогда требуется использовать более сложные модели, такие как реальный газ или модель Ван-дер-Ваальса.
Кроме того, выведенные зависимости справедливы для одноатомного газа. В случае многоатомных молекул необходимо учитывать дополнительные степени свободы (вращательные, колебательные), что влияет на выражения для кинетической энергии и теплоёмкости, но не меняет принципиальную связь между давлением и средней кинетической энергией поступательного движения.
Полученная формула:
$$ p = \frac{2}{3} n \langle E_k \rangle $$
обеспечивает мост между макроскопическим описанием газов (через давление и температуру) и микроскопическим (через движение молекул). Она позволяет интерпретировать давление как количественную меру хаотического движения молекул и объясняет механизмы тепловых процессов на атомно-молекулярном уровне.