Механизм теплопроводности в газах
Теплопроводность газа — это перенос внутренней энергии за счёт хаотического теплового движения молекул, при котором энергия передаётся от более нагретых участков среды к менее нагретым без макроскопического переноса вещества. В отличие от твердых тел, где основной вклад в теплопередачу вносят колебания решетки и электроны, в газах теплопроводность обусловлена кинетическим переносом энергии при столкновениях молекул, обладающих различными средними энергиями в разных участках объема.
Рассмотрение на основе кинетической теории
В условиях температурного градиента молекулы, перемещаясь из одной области в другую, переносят с собой энергию, характерную для исходной области. В результате возникает поток энергии — тепловой поток.
Рассмотрим однородный газ с температурным градиентом вдоль оси x. Предположим, что температура медленно изменяется в пространстве, а расстояние между молекулами значительно меньше характерного масштаба изменения температуры. Средняя энергия поступательного движения молекулы пропорциональна температуре:
$$ \varepsilon = \frac{3}{2}kT, $$
где k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.
Если молекула с температурной области T(x − λ), где λ — средняя длина свободного пробега, движется вдоль оси x, она переносит в точку x энергию, соответствующую температуре T(x − λ). Аналогично, молекулы, двигающиеся в противоположном направлении, переносят энергию из области T(x + λ).
Разность этих энергий и создаёт тепловой поток:
$$ q_x = -\kappa \frac{dT}{dx}, $$
где qx — плотность теплового потока вдоль оси x, κ — коэффициент теплопроводности.
Вывод выражения для коэффициента теплопроводности
Для молекулярного газа коэффициент теплопроводности можно выразить как:
$$ \kappa = \frac{1}{3} n v \lambda C_v, $$
где n — концентрация молекул, v — средняя тепловая скорость молекул, λ — средняя длина свободного пробега, Cv — удельная теплоёмкость на единицу объема при постоянном объёме.
Средняя тепловая скорость определяется как:
$$ v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}, $$
а длина свободного пробега:
$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}, $$
где d — эффективный диаметр молекулы, m — масса одной молекулы.
Таким образом, подставив значения, получаем:
$$ \kappa = \frac{1}{3} n C_v \lambda \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}. $$
Для одноатомного идеального газа:
$$ C_v = \frac{3}{2}nk, $$
тогда:
$$ \kappa = \frac{1}{2} nk \lambda \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}. $$
Зависимость теплопроводности от температуры и давления
Проанализируем температурную зависимость теплопроводности. Концентрация молекул n при постоянном давлении уменьшается с ростом температуры (n ∼ 1/T), но средняя скорость и длина свободного пробега увеличиваются. В результате, при постоянном давлении коэффициент теплопроводности возрастает приблизительно как $\kappa \sim \sqrt{T}$.
При постоянной плотности (т.е. при неизменном n) теплопроводность растёт примерно как κ ∼ T1/2, поскольку $v \sim \sqrt{T}$, а λ — постоянна.
Однако при постоянной температуре теплопроводность практически не зависит от давления, так как увеличение давления при фиксированной температуре приводит к уменьшению λ, но пропорционально увеличивает n, и их произведение nλ остаётся постоянным.
Молекулярные особенности и влияние степени свободы
Для многоатомных газов выражение для κ включает теплоемкость с учетом дополнительных степеней свободы. Чем больше степеней свободы, тем больше удельная теплоёмкость Cv, следовательно, возрастает и теплопроводность. Однако это справедливо при условии, что дополнительные степени свободы участвуют в теплообмене. При низких температурах колебательные степени свободы могут быть «заморожены», и вклад в Cv уменьшается.
Роль столкновений и эффективного сечения
Теплопроводность зависит от количества и характера столкновений молекул. Эффективное сечение столкновения влияет на длину свободного пробега. Молекулы с большими сечениями сталкиваются чаще, что приводит к меньшей λ и, соответственно, к меньшему переносу энергии за счёт одного перемещения. Однако при этом общий поток энергии может не уменьшаться, так как возрастает число молекул, участвующих в передаче.
Теплопроводность разреженных газов
В условиях сильно разреженного газа, когда длина пробега молекул становится сравнимой с размерами сосуда, классическая формула для κ становится неприменимой. Поведение газа становится ближе к баллистическому, и перенос энергии происходит в результате не диффузии, а свободного пролёта молекул. При этом теплопроводность оказывается сильно зависящей от геометрии и размеров системы.
Теплопроводность в смесях газов
В смесях различных газов перенос энергии осуществляется как за счёт движения отдельных компонентов, так и за счёт межмолекулярных столкновений между различными видами частиц. Коэффициент теплопроводности смеси можно аппроксимировать с использованием эмпирических или теоретических формул, учитывающих массы, концентрации и теплопроводности отдельных компонентов, а также их взаимодействие.
Для бинарной смеси часто применяют формулу:
κсмеси = x1κ1 + x2κ2 + поправки на взаимодействие,
где x1, x2 — мольные доли компонентов, κ1, κ2 — теплопроводности чистых газов.
Измерение теплопроводности газов
На практике коэффициент теплопроводности газов определяется экспериментально с помощью различных методов: методом нити, пластинки, цилиндра и др. Наиболее распространён метод вольфрамовой нити, помещённой в газ. При протекании электрического тока нить нагревается, и её температура устанавливается в зависимости от теплопроводности окружающего газа. Измеряя сопротивление нити, можно определить её температуру и, зная подводимую мощность, вычислить тепловой поток, а затем и коэффициент теплопроводности.
Примеры значений теплопроводности
Для одноатомных газов при комнатной температуре:
Как видно, теплопроводность уменьшается с увеличением массы молекул и числа степеней свободы. Лёгкие одноатомные газы, такие как гелий, имеют наибольшую теплопроводность.
Связь с другими транспортными коэффициентами
Коэффициент теплопроводности входит в число транспортных коэффициентов наряду с вязкостью и диффузией. Для идеального газа между ними существует связь через так называемое число Прандтля:
$$ \text{Pr} = \frac{C_p \eta}{\kappa}, $$
где Cp — удельная теплоёмкость при постоянном давлении, η — динамическая вязкость газа. Для одноатомного идеального газа $\text{Pr} \approx \frac{2}{3}$. Это позволяет по известной теплопроводности или вязкости оценить другой коэффициент.