Тепловое расширение твердых тел

При изменении температуры тела, состоящие из твердых веществ, изменяют свои размеры. Это явление называется тепловым расширением. В твердом состоянии частицы совершают тепловые колебания около положений равновесия, и с увеличением температуры амплитуда этих колебаний возрастает. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия между атомами или ионами кристаллической решетки несимметрична относительно положения равновесия, среднее расстояние между частицами увеличивается, что и приводит к расширению тела.

Для количественного описания теплового расширения вводятся два параметра:

  • линейный коэффициент теплового расширения α, характеризующий относительное изменение длины тела при нагревании;
  • объёмный коэффициент теплового расширения β, описывающий относительное изменение объема.

Линейное расширение можно выразить как:

ΔL = αL0ΔT,

где ΔL — изменение длины, L0 — начальная длина при температуре T0, ΔT — изменение температуры, α — линейный коэффициент теплового расширения, зависящий от природы материала.

Для объемного расширения:

ΔV = βV0ΔT,

где V0 — начальный объем, β — объемный коэффициент теплового расширения.

Для изотропных тел существует приближенная связь:

β ≈ 3α.

Атомистическая природа теплового расширения

Тепловое расширение твердых тел обусловлено особенностями потенциала межатомного взаимодействия. Обычно этот потенциал имеет асимметричную форму с минимумом, соответствующим равновесному расстоянию между атомами. Например, в модели Леннард-Джонса потенциал взаимодействия описывается как:

$$ U(r) = 4\varepsilon \left[ \left( \dfrac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \dfrac{\sigma}{r} \right)^6 \right], $$

где ε — глубина потенциальной ямы, σ — расстояние, при котором потенциал обращается в ноль. При повышении температуры среднее положение атомов смещается в сторону увеличения межатомного расстояния. Эта асимметрия и определяет положительное тепловое расширение.

Если бы потенциал был симметричным (например, гармоническим), то при любом увеличении температуры среднее положение атома оставалось бы неизменным, и тепловое расширение не наблюдалось бы. Следовательно, тепловое расширение — это ангармонический эффект.

Влияние кристаллической структуры

Кристаллическая решетка влияет на величину коэффициента теплового расширения. Вещества с прочными межатомными связями (например, алмаз) обладают малыми значениями α, тогда как у металлов и особенно у веществ с ионными или молекулярными связями значение α больше. Упорядоченность решетки и вид элементарной ячейки также играют роль. Например, кубические решетки (особенно гранецентрированные) обладают почти изотропными свойствами, в то время как у анизотропных кристаллов тепловое расширение различается по различным кристаллографическим направлениям.

У анизотропных кристаллов (например, у графита) коэффициенты теплового расширения могут значительно различаться вдоль и поперек слоев. В крайних случаях возможны даже отрицательные значения коэффициентов теплового расширения в некоторых направлениях.

Температурная зависимость коэффициента теплового расширения

Коэффициент теплового расширения не является строго постоянным: он зависит от температуры. При низких температурах тепловое расширение пропорционально T3, как предсказывает теория Дебая, а при высоких температурах α выходит на плато. Эта температурная зависимость связана с особенностями теплового возбуждения фононов и ангармонизма потенциальной энергии.

Для металлов и других хорошо исследованных веществ экспериментальные данные показывают, что при приближении к температуре плавления α начинает заметно увеличиваться.

Связь с другими термодинамическими величинами

Коэффициент теплового расширения связан с другими макроскопическими величинами, такими как теплоемкость CV, модуль объемного сжатия KT и коэффициент термодинамической давления:

$$ \alpha = \dfrac{1}{V} \left( \dfrac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \dfrac{1}{K_T} \left( \dfrac{\partial P}{\partial T} \right)_V. $$

С учетом уравнения состояния можно также связать тепловое расширение с внутренней энергией и энтропией, особенно в моделях кристаллических решеток.

Практическое значение и примеры

Тепловое расширение твердых тел имеет важное значение в инженерии, материаловедении и повседневной жизни. Примеры:

  • При строительстве мостов и рельсовых путей предусматриваются температурные зазоры.
  • В оптике используются материалы с малыми коэффициентами расширения для сохранения стабильности размеров линз и зеркал (например, кварц, инвар).
  • В композитных материалах учитывается разность коэффициентов теплового расширения для предотвращения внутренних напряжений.

Некоторые вещества, такие как инвар (сплав железа с никелем), обладают аномально низким коэффициентом теплового расширения. Это связано с особенностями их электронной структуры и магнитных свойств.

Модели и теории описания

В рамках теории твёрдого тела тепловое расширение может быть описано с помощью:

  • Ангармонических поправок к потенциалу взаимодействия — используются более точные модели межатомных потенциалов, включающие третьи и четвертые производные потенциала.
  • Теории Дебая — позволяет учитывать температурную зависимость теплоемкости и, как следствие, теплового расширения.
  • Квантовой статистики фононов — учитывает квантовые ограничения на тепловое возбуждение колебаний при низких температурах.

Эти модели подтверждаются экспериментально с помощью методов дифракции рентгеновских лучей, нейтронной дифракции, дилатометрии и спектроскопии.

Примеры значений коэффициента теплового расширения

Вещество α, 1/К (при 20 °C)
Алюминий 23 ⋅ 10−6
Сталь 12 ⋅ 10−6
Медь 17 ⋅ 10−6
Кварц (аморфный) 0.5 ⋅ 10−6
Инвар 1.2 ⋅ 10−6
Полимеры (50–200) ⋅ 10−6

Из таблицы видно, что коэффициент теплового расширения может варьироваться в широких пределах в зависимости от химического состава, структуры и межатомных сил.

Аномальные случаи

Существуют вещества, у которых наблюдается отрицательное тепловое расширение — при нагревании они уменьшаются в размерах. Такие явления встречаются в некоторых сложных оксидах, каркасных структурах (например, ZrW₂O₈) и объясняются особенностями колебательных мод и ангармонизма. Эти материалы находят применение в создании композиционных материалов с нулевым суммарным расширением.

Также интерес представляют фазовые переходы, сопровождающиеся скачкообразным изменением объема — например, переход мартенситного типа в сплавах с памятью формы.


Феномен теплового расширения твердых тел, казалось бы, прост с макроскопической точки зрения, но его физическая природа глубоко укоренена в квантовой теории, ангармонизме взаимодействий и статистической физике. Это делает его одним из ключевых проявлений микроскопической природы материи в повседневных макроскопических явлениях.