Уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона

В термодинамике уравнением состояния называют математическую зависимость между основными макроскопическими параметрами, описывающими состояние термодинамической системы: давлением P, объемом V, температурой T и количеством вещества n. Для идеального газа, представляющего собой модель, в которой отсутствуют взаимодействия между молекулами (за исключением упругих столкновений), такое уравнение имеет особенно простую форму.

Исторические корни: Бойль, Мариотт, Гей-Люссак и Авогадро

Различные экспериментальные зависимости между параметрами газа были открыты задолго до появления полного уравнения состояния:

  • Закон Бойля-Мариотта: при постоянной температуре произведение давления и объема газа постоянно

    PV = const  (T = const)

  • Закон Гей-Люссака (изохорный процесс): при постоянном объеме давление газа пропорционально температуре

    $$ \frac{P}{T} = \text{const} \quad (V = \text{const}) $$

  • Закон Шарля (изобарный процесс): при постоянном давлении объем пропорционален температуре

    $$ \frac{V}{T} = \text{const} \quad (P = \text{const}) $$

  • Гипотеза Авогадро: равные объемы разных газов при одинаковых T и P содержат одинаковое число молекул.

Эмпирическая обобщённая форма, связывающая давление, объем и температуру, получила строгую интерпретацию в рамках молекулярно-кинетической теории и была оформлена как уравнение состояния идеального газа.

Формулировка уравнения Менделеева–Клапейрона

Уравнение состояния идеального газа записывается следующим образом:

PV = nRT

где:

  • P — давление (в паскалях, Па),
  • V — объем (в м³),
  • n — количество вещества в молях,
  • R — универсальная газовая постоянная,
  • T — абсолютная температура в кельвинах.

Значение универсальной газовой постоянной:

R = 8, 314 Дж/(моль ⋅ К)

Связь с молекулярно-кинетической теорией

Поскольку количество вещества n связано с числом молекул N через постоянную Авогадро NA, можно выразить уравнение через число молекул:

PV = NkT

где:

  • N = nNA,
  • $k = \frac{R}{N_A} \approx 1{,}38 \cdot 10^{-23} \,\text{Дж}/\text{К}$ — постоянная Больцмана.

Это выражение используется при анализе систем, где рассматривается микроскопический уровень, например, в молекулярной физике и статистической термодинамике.

Изменения параметров газа: термические процессы

Из уравнения PV = nRT можно вывести формы, описывающие конкретные термодинамические процессы:

Изохорный процесс (V = const):

$$ \frac{P}{T} = \text{const} \quad \Rightarrow \quad \frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2} $$

Изобарный процесс (P = const):

$$ \frac{V}{T} = \text{const} \quad \Rightarrow \quad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$

Изотермический процесс (T = const):

PV = const  ⇒  P1V1 = P2V2

Адиабатический процесс (без теплообмена):

Анализируя уравнение состояния вместе с первым законом термодинамики, можно получить уравнение Пуассона:

$$ PV^\gamma = \text{const}, \quad \gamma = \frac{C_P}{C_V} $$

Применение в разных формах

Уравнение Менделеева–Клапейрона может быть переформулировано для различных задач. Например, если известна масса m газа и его молярная масса μ, то:

$$ n = \frac{m}{\mu} \quad \Rightarrow \quad PV = \frac{m}{\mu} RT $$

или:

$$ P = \frac{mRT}{\mu V} $$

Эта форма уравнения особенно полезна при технических расчетах и инженерных приложениях, где масса — более удобный параметр, чем количество вещества в молях.

Идеальный газ как модель

Уравнение Менделеева–Клапейрона справедливо для идеального газа — модели, в которой предполагается:

  • молекулы не взаимодействуют друг с другом за исключением упругих столкновений;
  • собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;
  • все столкновения — идеально упругие;
  • молекулы подчиняются законам классической механики.

Эта модель хорошо описывает поведение реальных газов при низком давлении и высокой температуре, когда межмолекулярные силы слабы и можно пренебречь их влиянием. При высоких давлениях и низких температурах необходимо учитывать поправки, как в уравнении Ван-дер-Ваальса.

Измерение универсальной газовой постоянной

Экспериментальное определение R возможно с использованием закона Бойля–Мариотта или Шарля и точных данных о давлении, объеме, температуре и количестве вещества. Поскольку R = kNA, знание точных значений k и NA позволяет определить R и наоборот.

Обобщение уравнения для смеси газов

Для смеси идеальных газов справедливо:

PобщV = (n1 + n2 + …)RT

При этом каждый компонент подчиняется закону Дальтона: его парциальное давление пропорционально его количеству вещества:

$$ P_i = \frac{n_i}{n_{\text{общ}}} P_{\text{общ}} $$

Значение уравнения Менделеева–Клапейрона

Это уравнение является фундаментальной формулой, соединяющей макроскопические параметры газа в одну систему. Оно играет центральную роль как в термодинамике, так и в молекулярной физике. На его основе строятся описания процессов в атмосфере, расчет термодинамических циклов (например, цикл Карно, цикл Отто), моделирование звёздных и межзвёздных сред, а также технические расчеты в инженерной практике.

Оглавление