При достаточно низкой температуре классическое представление о газе как совокупности независимых частиц с непрерывным распределением энергии перестает быть применимым. Если термическая длина волны де Бройля частицы
$$ \lambda_{\text{дБ}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}} $$
становится сравнимой с межчастичным расстоянием r ∼ n−1/3, где n — концентрация частиц, то происходит перекрытие волновых функций, и система вступает в область квантовой вырожденности. Это условие можно записать как
nλдБ3 ≳ 1.
Вырожденный газ — это система, в которой квантовые эффекты обусловливают статистическое поведение частиц.
Существуют два принципиально различных типа квантовых газов: бозе-газы, состоящие из бозонов (частицы с целым спином), и ферми-газы, состоящие из фермионов (частицы с полуцелым спином).
Бозоны подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна и не ограничены принципом запрета Паули: любое число частиц может находиться в одном и том же квантовом состоянии.
Фермионы, наоборот, подчиняются статистике Ферми–Дирака и подчиняются принципу Паули: не более одной частицы может занимать одно квантовое состояние.
Для ферми-газов, при температурах, стремящихся к нулю, все квантовые состояния заполняются по возрастанию энергии до некоторого максимального уровня, называемого уровнем Ферми:
$$ \epsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left(3\pi^2 n\right)^{2/3}. $$
При T = 0 все состояния с энергией ϵ < ϵF заполнены, а все с ϵ > ϵF — пусты. Это резко контрастирует с классическим распределением Максвелла–Больцмана.
Даже при T = 0 ферми-газ обладает ненулевым давлением вырождения:
$$ P = \frac{2}{5} n \epsilon_F. $$
Средняя энергия одной частицы:
$$ \langle \epsilon \rangle = \frac{3}{5} \epsilon_F. $$
Это давление чисто квантового происхождения и не связано с тепловым движением.
При низких температурах теплоемкость CV идеального ферми-газа возрастает линейно с температурой:
CV ∝ T.
Это связано с тем, что возбуждаются лишь частицы вблизи уровня Ферми.
В случае бозе-газа при понижении температуры возникает явление конденсации Бозе–Эйнштейна: значительное число частиц собирается в состоянии с нулевым импульсом (основном состоянии). Это происходит при температуре ниже критической:
$$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3}, $$
где ζ — дзета-функция Римана.
При T < Tc концентрация частиц в основном состоянии:
$$ n_0 = n \left[1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^{3/2} \right]. $$
Таким образом, при нуле температуры все бозоны находятся в основном состоянии, образуя макроскопическую волновую функцию.
В отличие от ферми-газов, давление бозе-газа не обусловлено вырождением. При T < Tc давление не зависит от числа конденсированных частиц, так как они находятся в состоянии с нулевой энергией.
Полная энергия системы:
$$ E = \int_0^\infty \frac{\epsilon g(\epsilon)}{e^{\beta \epsilon} - 1} d\epsilon, $$
где g(ϵ) ∝ ϵ1/2 — плотность состояний.
При T < Tc теплоемкость возрастает как T3/2, достигая максимума при T = Tc, после чего убывает, стремясь к классическому значению при высоких температурах.
Квантовые эффекты вырождения оказывают сильное влияние на плотность заселения уровней энергии. В трехмерном пространстве для свободных частиц плотность квантовых состояний имеет вид:
$$ g(\epsilon) = \frac{V}{4\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \epsilon^{1/2}. $$
Эта функция используется при статистическом интегрировании по энергиям для получения термодинамических величин: числа частиц, энергии, энтропии и т. п.
Критерий вырождения формулируется через безразмерную величину nλдБ3. В зависимости от значения этой величины можно различать три режима:
Для электрона в металле n ∼ 1028 м−3, а λдБ ∼ 10−10 м, поэтому электронный газ в металлах всегда вырожден даже при комнатной температуре.
Ферми-газы реализуются в электронной подсистеме металлов, в нейтронных звездах (нейтроны — фермионы), в холодных атомных газах типа 6Li или 40K.
Бозе-газы реализуются в системах фотонов (черное тело), гелий-4 (при сверхтекучести), холодных атомах типа 87Rb, где удается экспериментально реализовать Бозе–Эйнштейновскую конденсацию при температурах порядка наноКельвинов.
| Свойство | Ферми-газ | Бозе-газ |
|---|---|---|
| Статистика | Ферми–Дирак | Бозе–Эйнштейн |
| Принцип Паули | Применим | Не применим |
| Уровень вырождения | Уровень Ферми ϵF | Критическая температура Tc |
| Поведение при T → 0 | Заполнение всех уровней до ϵF | Конденсация в основном состоянии |
| Давление при T = 0 | Ненулевое (давление вырождения) | Стремится к нулю |
| Теплоемкость при низких T | ∝ T | ∝ T3/2 |
Понимание поведения вырожденных квантовых газов имеет фундаментальное значение в физике конденсированного состояния, астрофизике и современных технологиях. Оно лежит в основе:
Формирование макроскопически когерентных состояний, квантовая статистическая корреляция и особенности термодинамики в вырожденных газах открывают путь к глубинному пониманию квантовой природы материи.