Взаимосвязь коэффициентов переноса

Коэффициенты переноса и их взаимосвязь

Коэффициенты переноса — это макроскопические параметры, количественно описывающие перенос массы, импульса и энергии в веществе. В газах, где взаимодействие молекул подчиняется статистическим закономерностям, коэффициенты переноса непосредственно связаны между собой через параметры микроскопического движения частиц: среднюю длину свободного пробега, тепловую скорость и характер межмолекулярного взаимодействия.

Основные коэффициенты переноса

К основным коэффициентам переноса относят:

Коэффициент вязкости (внутреннего трения) — η Характеризует перенос импульса за счёт микроскопического движения молекул в потоке газа. Проявляется, например, в сопротивлении слоев газа их взаимному перемещению.
Коэффициент теплопроводности — κ Определяет интенсивность переноса тепловой энергии от более нагретых участков к менее нагретым.
Коэффициент диффузии — D Описывает скорость выравнивания концентрации компонентов в газовой смеси вследствие хаотического движения молекул.

Эти коэффициенты тесно связаны через общие микроскопические механизмы переноса, и их поведение подчиняется единой кинетической теории.

Микроскопическая природа переноса

Каждое явление переноса обусловлено движением молекул, сталкивающихся друг с другом. Величина переноса зависит от:

средней тепловой скорости молекул
длины свободного пробега
концентрации частиц
масс и сечений столкновений

Модель идеального газа с жесткими упругими шарами позволяет выразить коэффициенты переноса через одни и те же параметры, в результате чего устанавливаются пропорциональные зависимости между ними.

Кинетическая теория и выражения для коэффициентов

Кинетическая теория газов даёт следующие приближённые выражения:

Вязкость:

$$ \eta \sim \frac{1}{3} n m \bar{v} \lambda $$
Теплопроводность:

$$ \kappa \sim \frac{1}{3} n c_v \bar{v} \lambda $$
Диффузия (однокомпонентного газа):

$$ D \sim \frac{1}{3} \bar{v} \lambda $$

где: n — концентрация молекул, m — масса молекулы, v̄ — средняя тепловая скорость, λ — средняя длина свободного пробега, с_v — удельная теплоёмкость при постоянном объеме.

Взаимосвязь коэффициентов переноса

Из приведённых формул можно непосредственно получить взаимосвязи между коэффициентами:

Между теплопроводностью и вязкостью:

$$ \frac{\kappa}{\eta} \sim \frac{c_v}{m} $$

Эта величина имеет размерность [м²/с], аналогичную температуропроводности. Для идеального одноатомного газа (с $c_v = \frac{3}{2}k$) получаем:

$$ \frac{\kappa}{\eta} = \frac{3}{2} \frac{k}{m} $$

Таким образом, отношение теплопроводности к вязкости зависит только от массы молекулы и постоянной Больцмана.
Между диффузией и вязкостью:

$$ D \sim \frac{\eta}{n m} $$

Показывает, что диффузия тем выше, чем больше вязкость и меньше плотность газа.
Между диффузией и теплопроводностью:

$$ D \sim \frac{\kappa}{n c_v} $$

Это выражение показывает, что перенос массы и энергии в газе имеют общую микроскопическую природу.

Таким образом, все коэффициенты переноса выражаются через одни и те же микроскопические параметры и между ними существует строгая функциональная взаимосвязь. Это позволяет, зная один из коэффициентов, оценивать другие.

Безразмерные параметры переноса

Для более универсального анализа вводятся безразмерные отношения между коэффициентами. Один из них — число Прандтля:

$$ \mathrm{Pr} = \frac{c_p \eta}{\kappa} $$

Для одноатомного идеального газа $\mathrm{Pr} \approx \frac{5}{3} \cdot \frac{\eta}{\kappa} \cdot \frac{k}{m}$. На практике для большинства одноатомных газов при комнатной температуре Pr ≈ 2/3.

Также можно определить:

Число Шмидта:

$$ \mathrm{Sc} = \frac{\eta}{\rho D} $$
Число Льюиса:

$$ \mathrm{Le} = \frac{\kappa}{\rho c_p D} $$

Эти величины служат характеристиками соотношения скоростей переноса разных физических величин. Например, Le показывает, насколько интенсивнее происходит перенос теплоты по сравнению с массопереносом.

Температурная зависимость коэффициентов

Все коэффициенты переноса растут с температурой. Приближённо:

η ∝ T^1/2
κ ∝ T^1/2
D ∝ T^3/2/p

Такая зависимость вытекает из роста средней скорости молекул с температурой и уменьшения плотности при постоянном давлении.

Зависимость от молекулярной структуры

Коэффициенты переноса существенно зависят от строения молекул:

Для многоатомных газов удельная теплоёмкость выше, а значит, и теплопроводность возрастает.
У полярных молекул и сложных молекулярных структур эффективное сечение столкновений выше, что уменьшает длину свободного пробега и изменяет все коэффициенты.

Молекулярные детали учитываются в более точных теориях (например, в теории Чепмена-Энскога), где вводятся интегральные параметры столкновений.

Использование взаимосвязей на практике

Знание взаимосвязей между коэффициентами переноса позволяет:

Оценивать один коэффициент, если известны два других.
Проверять экспериментальные данные на согласованность.
Разрабатывать модели переноса в системах, где одни процессы измерить проще других.
Проводить численное моделирование сложных тепло- и массопереносных процессов.

Например, в инженерных расчётах часто используют эмпирические зависимости вида:

$$ \kappa = \mathrm{Pr} \cdot \frac{c_p \eta}{\mathrm{Pr}_{0}} $$

где Pr₀ — табличное значение при стандартных условиях.

Итоговая характеристика

Вся совокупность явлений переноса — вязкость, теплопроводность и диффузия — имеет общую молекулярно-кинетическую природу. Их количественные характеристики взаимосвязаны через параметры молекулярного движения, а фундаментальные соотношения позволяют объединять описание этих процессов в единую теоретическую систему.